第2讲 参数方程

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第2讲 参数方程

1.(2017·合肥调研)在直角坐标系xOy 中,曲线C :???x =2cos α+1,y =2sin α+1

(α为参数),在以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线l :ρsin θ+ρcos θ=m .

(1)若m =0时,判断直线l 与曲线C 的位置关系;

(2)若曲线C 上存在点P 到直线l 的距离为22,求实数m 的取值范围.

解 (1)曲线C 的直角坐标方程为(x -1)2+(y -1)2=2,是一个圆;

直线l 的直角坐标方程为x +y =0,

圆心C 到直线l 的距离为d =

|1+1|12+1

2=2=r , 所以直线l 与圆C 相切.

(2)由已知可得,圆心C 到直线l 的距离为d =|1+1-m |12+12≤32

2,解得-1≤m ≤5. 所以实数m 的取值范围为[-1,5].

2.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为?

??x =4cos θ,y =4sin θ (θ为参数),直线l 经过点P (1,2),倾斜角α=π6.

(1)写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程;

(2)设直线l 与圆C 相交于A ,B 两点,求|P A |·|PB |的值.

解 (1)由???x =4cos θ,y =4sin θ,

消去θ, 得圆C 的普通方程为x 2+y 2=16.

又直线l 过点P (1,2),且倾斜角α=π6.

所以l 的参数方程为?????x =1+t cos π6,

y =2+t sin π6.

即?????x =1+32t ,

y =2+12t

(t 为参数). (2)把直线l 的参数方程?????x =1+32t ,

y =2+12t

代入x 2+y 2=16, 得?

????1+32t 2+? ????2+12t 2=16,t 2+(3+2)t -11=0, 所以t 1t 2=-11.

由参数方程的几何意义,|P A |·|PB |=|t 1t 2|=11.

3.(2016·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x +6)2+y 2=25.

(1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程;

(2)直线l 的参数方程是?

??x =t cos α,y =t sin α(t 为参数),l 与C 交于A ,B 两点,|AB |=10,求l 的斜率.

解 (1)由x =ρcos θ,y =ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11=0.

(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为θ=α(ρ∈R ).

设A ,B 所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0.

于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.

|AB |=|ρ1-ρ2|=(ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2=144cos 2 α-44.

由|AB |=10得cos 2α=38,tan α=±153.

所以l 的斜率为153或-153.

4.以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等

的长度单位.已知直线l 的参数方程为?

??x =1+t cos α,y =t sin α(t 为参数,0<α<π),曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cos θ.

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第2讲 参数方程 ?x= 2cos α+1, ? 1.(2017· 合肥调研)在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C: (α 为参数), ?y= 2sin α +1 在以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线 l:ρsin θ +ρcos θ =m. (1)若 m=0 时,判断直线 l 与曲线 C 的位置关系; 2 (2)若曲线 C 上存在点 P 到直线 l 的距离为 2 ,求实数 m 的取值范围. 解 (1)曲线 C 的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2,是一个圆; 直线 l 的直角坐标方程为 x+y=0, 圆心 C 到直线 l 的距离为 d= 所以直线 l 与圆 C 相切. (2)由已知可得, 圆心 C 到直线 l 的距离为 d= 所以实数 m 的取值范围为[-1,5]. ?x=4cos θ , 2.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为? ?y=4sin θ π (θ 为参数),直线 l 经过点 P(1,2),倾斜角 α= 6 . (1)写出圆 C 的普通方程和直线 l 的参数方程; (2)设直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,求|PA|· |PB|的值. 解 ?x=4cos θ , (1)由? 消去 θ, ?y=4sin θ , |1+1-m| 3 ≤ 2, 解得-1≤m≤5. 12+12 2 |1+1| = 2=r, 12+12 得圆 C 的普通方程为 x2+y2=16. π 又直线 l 过点 P(1,2),且倾斜角 α= 6 . π ? ?x=1+tcos 6 , 所以 l 的参数方程为? π y = 2 + t sin ? ? 6. 3 ? ?x=1+ 2 t, 即? (t 为参数). 1 ? ?y=2+2t 3 ? x = 1 + ? 2 t, (2)把直线 l 的参数方程? 代入 x2+y2=16, 1 ? ?y=2+2t 1 ?2 ? 3 ?2 ? 得?1+ t? +?2+2t? =16,t2+( 3+2)t-11=0, ? ? 2 ? ? 所以 t1t2=-11. 由参数方程的几何意义,|PA|·|PB|=|t1t2|=11. 3.(2016· 全国Ⅱ卷)在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x+6)2+y2=25. (1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程; ?x=tcos α , (2)直线 l 的参数方程是? (t 为参数),l 与 C 交于 A,B 两点,|AB| ?y=tsin α = 10,求 l 的斜率. 解 (1)由 x=ρcos θ ,y=ρsin θ 可得圆 C 的极坐标方程为ρ 2+12ρcos θ + 11=0. (2)在(1)中建立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 θ=α(ρ∈R). 设 A,B 所对应的极径分别为 ρ1,ρ 2,将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程 得 ρ2+12ρcos α +11=0. 于是 ρ1+ρ2=-12cos α ,ρ 1ρ 2=11. |AB|=|ρ1-ρ2|= (ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ 2= 144cos2 α -44. 3 15 由|AB|= 10得 cos2α =8,tan α =± 3 . 15 15 所以 l 的斜率为 3 或- 3 . 4.以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等 ?x=1+tcos α , 的长度单位.已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数,0<α<π ), ?y=tsin α 曲线 C 的极


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