2011届高三一轮测试(理)6不等式

来源:互联网 由 时列会下 贡献 责任编辑:王小亮  

不等式

—————————————————————————————————————【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答,共150分,考试时间120分钟.

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知集合M={x|x2<4},N={x|x2-2x-3<0},则集合M∩N等于

(  )

A.{x|x<-2}     B.{x|x>3}

C.{x|-1<x<2} D.{x|2<x<3}

2.已知m,n为非零实数,则“>1”是“<1”的

(  )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.已知t=a+2b,s=a+b2+1,则t和s的大小关系中正确的是

(  )

A.t>s B.t≥s

C.t<s D.t≤s

4.不等式<1的解集为

(  )

A.{x|0<x<1}∪{x|x>1} B.{x|0<x<1}

C.{x|-1<x<0} D.{x|x<0}

5.下列命题中的真命题是

(  )

A.若a>b,c>d,则ac>bd

B.若|a|>b,则a2>b2

C.若a>b,则a2>b2

D.若a>|b|,则a2>b2

6.若a>b,x>y,下列不等式不正确的是

(  )

A.a+x>b+y B.y-a<x-b

C.|a|x>|a|y D.(a-b)x>(a-b)y

7.不等式||>a的解集为M,又2?M,则a的取值范围为

(  )

A.(,+∞) B.[,+∞)

C.(0,) D.(0,]

8.已知<0,则下列结论不正确的是

(  )

A.a2<b2 B.ab<b2

C.>2 D.|a|+|b|>|a+b|

9.设a>0,b>0,若是3a与3b的等比中项,则的最小值为

(  )

A.8 B.4

C.1 D.

10.如图,若Rt△ABC的斜边AB=2,内切圆的半径为r,则r的最大值为

(  )

A. B.1

C. D.-1

11.对一切实数x,不等式x2+a|x|+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是

(  )

A.[-2,+∞) B.(-∞-2)

C.[-2,2] D.[0,+∞)

12.以下命题中正确的个数为

(  )

①若a2+b2=8,则ab的最大值为4;

②若a>0,b>0,且2a+b=4,则ab的最大值为4;

③若a>0,b>0,且a+b=4,则的最小值为1;

④若a>0,则的最小值为1.

A.1 B.2

C.3 D.4

第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)

题 号

第Ⅰ卷

第Ⅱ卷

总 分

17

18

19

20

21

22

得 分

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)

13.不等式1<|1-|≤2的解为________.

14.若115.已知关于x的不等式<0的解集是(-∞,-1)∪,则a=________.

16.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站________千米处.

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)解不等式组

其中x、y都是整数.

18.(本小题满分12分)解关于x的不等式:x+>a+(a>0).

19.(本小题满分12分)已知0<a<,A=1-a2,B=1+a2,C=,D=.

(1)求证:1-a>a2;

(2)比较A、B、C、D的大小.

20.(本小题满分12分)某商场预计全年分批购入每台价值为2 000元的电视机共3 600台,每批都购入x台(x为正整数),且每批需付运费400元,储存购入的电视机全年所付保管费用与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比.若每批购入400台,则全年需用去运费和保管费共43 600元.现全年只有24 000元资金可用于支付这笔费用.请问能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论并说明理由.

21.(本小题满分12分)函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立,且f(1)=0.

(1)求f(0);

(2)求f(x);

(3)不等式f(x)>ax-5当0<x<2时恒成立,求a的取值范围.

22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=为奇函数,f(1)<f(3),

且不等式0≤f(x)≤的解集是{x|-2≤x≤-1或2≤x≤4}.

(1)求a,b,c的值;

(2)是否存在实数m使不等式f(-2+sinθ)<-m2+对一切θ∈R成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.

答案:

一、选择题

1.C M={x|-2<x<2},

N={x|-1<x<3},

则M∩N={x|-1<x<2}.

2.A 3.D

4.D ∵<1,

∴|x+1|<|x-1|,

∴x2+2x+1<x2-2x+1.

∴x<0.∴不等式的解集为

{x|x<0}.

5.D 由a>|b|,

可得a>|b|≥0?a2>b2.

6.C

7.B 依题意得||≤a,

解得a≥,故选B.

8.D ∵<0,∴b<a<0,

∴应有|a|+|b|=|a+b|.

9.B 由题意知3a·3b=3,

即3a+b=3,所以a+b=1.

因为a>0,b>0,所以(a+b)=2+≥2+2=4.当且仅当a=b时,等号成立.

10.D ∵r=-1,

∵4=a2+b2≥

∴(a+b)2≤8.

∴a+b≤2

∴r≤-1.故选D.

11.A 据已知可得a≥-|x|-=-,据均值不等式|x|+≥2?-≤-2,故若使原不等式恒成立,只需a≥-2即可.

12.B 由①知,a2+b2=8,

∴ab≤=4成立(当且仅当a=b=2或a=b=-2时,取等号),故①正确.

由②知4=2a+b≥2

≤2,∴ab≤2,

故②不正确.由③可知,a+b=4,∴=1.∴+2=1(当且仅当a=b=2时取等号),故③正确.

由④=1(当且仅当a=1时取等号),

的最大值是1,故④不正确.

故正确的有①③.

二、填空题

13.【解析】 原式等价于

得6<x≤9或-3≤x<0.

【答案】 {x|-3≤x<0或6<x≤9}

14.【解析】 由-4?0≤|b|<4,-4<-|b|≤0,

又1∴-3【答案】 (-3,3)

15.【解析】 由于不等式<0的解集是(-∞,-1)∪

故-应是ax-1=0的根.∴a=-2.

【答案】 -2

16.【解析】 设仓库建在离车站d千米处,

由已知y1=2=,得k1=20,∴y1=

y2=8=k2·10,得k2=

∴y2=d,

∴y1+y2=≥2=8.

当且仅当,即d=5时,费用之和最小.

【答案】 5

三、解答题

17.【解析】 原不等式组可化为

得-<y<2,∴y=0或1.

当y=0时,

解得

当y=1时,

解得

综上得

18.【解析】 原不等式可化为(x-a)+()>0,

即(x-a)(1-)>0,

>0.

①当a>1时,0<<a,

原不等式的解为

0<x<或x>a.

②当0<a<1时,0<a<

原不等式的解为

0<x<a或x>

③当a=1时,原不等式的解为x>0,且x≠1,

综上所述,当a>1时,不等式的解集为{x|0<x<或x>a};

当a=1时,不等式的解集为{x|x>0且x≠1}

当0<a<1时,

不等式的解集为

{x|0<x<a或x>}.

19.【解析】 (1)证明:

∵0<a<

∴0<a2<<1-a<1.

∴1-a>>a2,

∴1-a>a2.

(2)∵A、D均小于1,B、C均大于1,

∴只要比较A与D,B与C的大小.

=(1-a2)(1+a)=1+a-a2-a3

=1+a(1-a-a2),

而1-a>a2,∴1-a-a2>0.

∴a(1-a-a2)>0.

=1+a(1-a-a2)>1,

∵D>0,∴A>D,

类似地,=(1-a)(1+a2)=1-a+a2-a3

=1-a(1-a+a2)<1.

∵C>0,故B<C,

从而D<A<B<C.

20.【解析】 设全年需用去的运费和保管费的总费用为y元,题中的比例系数设为k,每批购入x台,则共需分批,

每批费用2 000x元.

由题意知y=×400+k×2 000x,

当x=400时,y=43 600,

解得k=

∴y=×400+100x

≥2

=24 000(元)

当且仅当×400=100x,即x=120时等号成立.

故只需每批购入120台,可以使资金够用.

21.【解析】 (1)令x=1,y=0,

得f(1+0)-f(0)=(1+2×0+1)×1=2,

∴f(0)=f(1)-2=-2.

(2)令y=0,f(x+0)-f(0)=(x+2×0+1)·x=x2+x,

∴f(x)=x2+x-2.

(3)f(x)>ax-5可化为x2+x-2>ax-5,

ax<x2+x+3,

∵x∈(0,2).

∴a<=1+x+.

当x∈(0,2)时,

1+x+≥1+2

当且仅当x=,x=时取等号,

∈(0,2)得min=1+2,∴a<1+2.

22.【解析】 (1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)对定义域内的一切x都成立,

即b=0.

从而f(x)=(x+).

又∵

∴f(2)=0,解之,得c=-4.

再由f(1)<f(3),得从而a>0.

此时f(x)=(x-)

在[2,4]上是增函数.

注意到f(2)=0,则必有f(4)=,∴ (4-)=

即a=2.

综上可知,a=2,b=0,c=-4.

(2)由(1),得f(x)=(x-),该函数在(-∞,0)以及(0,+∞)上均为增函数.

又∵-3≤-2+sinθ≤-1,

∴f(-2+sin θ)的值域为

[-].

符合题设的实数m应满足-m2>,即m2<0,故符合题设的实数m不存在.

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不等式

—————————————————————————————————————【说明】 本试 卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答,共 150 分, 考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号 答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.已知集合 M={x|x2<4},N={x|x2-2x-3<0},则集合 M∩N 等于 ( ) A.{x|x<-2} B.{x|x>3} C.{x|-1<x<2} D.{x|2<x<3} n m 2.已知 m,n 为非零实数,则“ >1”是“ <1”的 m n ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2 3.已知 t=a+2b,s=a+b +1,则 t 和 s 的大小关系中正确的是 ( ) A.t>s B.t≥s C.t<s D.t≤s x + 1 ? ?<1 的解集为 4.不等式? ? ?x-1? ( ) A.{x|0<x<1}∪{x|x>1} B.{x|0<x<1} C.{x|-1<x<0} D.{x|x<0} 5.下列命题中的真命题是 ( ) A.若 a>b,c>d,则 ac>bd B.若|a|>b,则 a2>b2 C.若 a>b,则 a2>b2 D.若 a>|b|,则 a2>b2 6.若 a>b,x>y,下列不等式不正确的是 ( ) A.a+x>b+y B.y-a<x-b C.|a|x>|a|y D.(a-b)x>(a-b)y ax-1 7.不等式| |>a 的解集为 M,又 2?M,则 a 的取值范围为 x ( ) 1 1 A.( ,+∞) B.[ ,+∞) 4 4 1 1 C.(0, ) D.(0, ] 2 2 1 1 8.已知 < <0,则下列结论不正确的是 a b ( ) 2 2 2 A.a <b B.ab<b b a C. + >2 D.|a|+|b|>|a+b| a b

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1 1 9.设 a>0,b>0,若 3是 3a 与 3b 的等比中项,则 + 的最小值为 a b ( A.8 B.4 1 C.1 D. 4 10.如图,若 Rt△ABC 的斜边 AB=2,内切圆的半径为 r,则 r 的最大值为 ( ) )

A. 2 B.1 2 C. D. 2-1 2 2 11.对一切实数 x,不等式 x +a|x|+1≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ( A.[-2,+∞) C.[-2,2] 12.以下命题中正确的个数为 B.(-∞-2) D.[0,+∞) ( ) )

①若 a2+b2=8,则 ab 的最大值为 4; ②若 a>0,b>0,且 2a+b=4,则 ab 的最大值为 4; 1 1 ③若 a>0,b>0,且 a+b=4,则 + 的最小值为 1; a b 2a ④若 a>0,则 2 的最小值为 1. a +1 A.1 C.3 第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 题 号 得 分 第Ⅰ卷 B.2 D.4

二 17

18

第Ⅱ卷 19 20

21

22

总 分

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) x 13.不等式 1<|1- |≤2 的解为________. 3 14.若 1<a<3,-4<b<2,那么 a-|b|的取值范围是________. ax-1 1 - ,+∞?,则 a=________. 15.已知关于 x 的不等式 <0 的解集是(-∞,-1)∪? 2 ? ? x+1 16.某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费 y2 与到车站的距离成正比,如果在距离车站 10 千米处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元, 那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站________千米处. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)解不等式组

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1 ? ?y-|x2-2x|+2>0, ? 其中 x、y 都是整数. ?y+|x-1|<2, ? 1 1 18.(本小题满分 12 分)解关于 x 的不等式:x+ >a+ (a>0). x a 1 1 1 19.(本小题满分 12 分)已知 0<a< ,A=1-a2,B=1+a2,C= ,D= . 2 1-a 1+a (1)求证:1-a>a2; (2)比较 A、B、C、D 的大小. 20.(本小题满分 12 分)某商场预计全年分批购入每台价值为 2 000 元的电视机共 3 600 台,每批都购 入 x 台(x 为正整数), 且每批需付运费 400 元, 储存购入的电视机全年所付保管费用与每批购入电视机的总 价值(不含运费)成正比.若每批购入 400 台,则全年需用去运费和保管费共 43 600 元.现全年只有 24 000 元资金可用于支付这笔费用.请问能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论并说明理 由. 21.(本小题满分 12 分)函数 f(x)对一切实数 x,y 均有 f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成立,且 f(1)=0. (1)求 f(0); (2)求 f(x); (3)不等式 f(x)>ax-5 当 0<x<2 时恒成立,求 a 的取值范围. x2+c 22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= 为奇函数,f(1)<f(3), ax+b 3 且不等式 0≤f(x)≤ 的解集是{x|-2≤x≤-1 或 2≤x≤4}. 2 (1)求 a,b,c 的值; 3 (2)是否存在实数 m 使不等式 f(-2+sinθ)<-m2+ 对一切 θ∈R 成立?若存在,求出 m 的取值范围; 2 若不存在,请说明理由. 答案: 一、选择题 1.C M={x|-2<x<2}, N={x|-1<x<3}, 则 M∩N={x|-1<x<2}. 2.A 3.D 4.D ∵?

?x+1? ?<1, ?x-1?

∴|x+1|<|x-1|, ∴x2+2x+1<x2-2x+1. ∴x<0.∴不等式的解集为 {x|x<0}. 5.D 由 a>|b|, 可得 a>|b|≥0?a2>b2. 6.C 2a-1 7.B 依题意得| |≤a, 2 1 解得 a≥ ,故选 B. 4 1 1 8.D ∵ < <0,∴b<a<0, a b

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∴应有|a|+|b|=|a+b|. 9.B 由题意知 3a· 3b=3, 即 3a+b=3,所以 a+b=1. 1 1 1 1? b a + (a+b)=2+ + ≥2+2 因为 a>0,b>0,所以 + =? a b ?a b? a b 10.D

2

ba · =4.当且仅当 a=b 时,等号成立. ab

a+b-c a+b ∵r= = -1, 2 2

2

?a+b?2 ∵4=a +b ≥ , 2 ∴(a+b)2≤8. ∴a+b≤2 2, ∴r≤ 2-1.故选 D. 1? 1? 1 1 ? 11.A 据已知可得 a≥-|x|- =-? ?|x|+|x|?,据均值不等式|x|+|x|≥2?-?|x|+|x|?≤-2,故若使原 |x| 不等式恒成立,只需 a≥-2 即可. 12.B 由①知,a2+b2=8, a2+b2 ∴ab≤ =4 成立(当且仅当 a=b=2 或 a=b=-2 时,取等号),故①正确. 2 由②知 4=2a+b≥2 2ab, ∴ 2ab≤2,∴ab≤2, a b 1 1 1 1??a b? 1 b a 1 1 + + = + + + ≥ +2 故②不正确.由③可知,a+b=4,∴ + =1.∴ + =? 4 4 a b ?a b??4 4? 4 4a 4b 4 2 1 + =1(当且仅当 a=b=2 时取等号),故③正确. 2 2a 2a 由④ 2 ≤ =1(当且仅当 a=1 时取等号), a +1 2a 故 的最大值是 1,故④不正确. a +1

2

b a 1 · = 4a 4 b 2

2a

故正确的有①③. 二、填空题 13. 【解析】 原式等价于

? ?? ?1-3?≤2, ? ? x? ? ?1-3?>1 ,

x

?-2≤1-3≤2 ∴? x x ?1-3>1或1-3<-1

? ?-3≤x≤9 ∴? ?x<0或x>6 ?

得 6<x≤9 或-3≤x<0. 【答案】 {x|-3≤x<0 或 6<x≤9}

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x

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14. 【解析】 由-4<b<2 ?0≤|b|<4,-4<-|b|≤0, 又 1<a<3. ∴-3<a-|b|<3. 【答案】 (-3,3) ax-1 1 - ,+∞?, 15. 【解析】 由于不等式 <0 的解集是(-∞,-1)∪? 2 ? ? x+1 1 故- 应是 ax-1=0 的根.∴a=-2. 2 【答案】 -2 16. 【解析】 设仓库建在离车站 d 千米处, k1 20 由已知 y1=2= ,得 k1=20,∴y1= , 10 d 4 y2=8=k2· 10,得 k2= , 5 4 ∴y2= d, 5 20 4d 20 4d ∴y1+y2= + ≥2 · =8. d 5 d 5 20 4d 当且仅当 = ,即 d=5 时,费用之和最小. d 5 【答案】 5 三、解答题 1 2 ? ?y+2>|x -2x|≥0 17. 【解析】 原不等式组可化为? ? ?y-2<-|x-1|≤0, 1 得- <y<2,∴y=0 或 1. 2 当 y=0 时, 1 2 ? ?|x -2x|<2, ? ? ?|x-1|<2.

?x=0, ? ? ?x=2, 解得? ? ?y=0; ? ?y=0 ?

当 y=1 时, 3 2 ? ?x=1, ?|x -2x|<2, ? ? 解得? ? ? ?y=1. ?|x-1|<1.

?x=0, ? 综上得? ? ?y=0;

?x=2, ? ? ? ?y=0;

?x=1, ? ? ? ?y=1.

1 1 18. 【解析】 原不等式可化为(x-a)+( - )>0, x a 1 即(x-a)(1- )>0, ax

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1 ?x-a??x- ? a ∴ >0. x 1 ①当 a>1 时,0< <a, a 原不等式的解为 1 0<x< 或 x>a. a 1 ②当 0<a<1 时,0<a< a 原不等式的解为 1 0<x<a 或 x> a ③当 a=1 时,原不等式的解为 x>0,且 x≠1, 1 综上所述,当 a>1 时,不等式的解集为{x|0<x< 或 x>a}; a 当 a=1 时,不等式的解集为{x|x>0 且 x≠1} 当 0<a<1 时, 不等式的解集为 1 {x|0<x<a 或 x> }. a 19. 【解析】 (1)证明: 1 ∵0<a< , 2 1 2 1 ∴0<a < , <1-a<1. 4 2 1 1 ∴1-a> > >a2, 2 4 ∴1-a>a2. (2)∵A、D 均小于 1,B、C 均大于 1, ∴只要比较 A 与 D,B 与 C 的大小. A ∵ =(1-a2)(1+a)=1+a-a2-a3 D =1+a(1-a-a2), 而 1-a>a2,∴1-a-a2>0. ∴a(1-a-a2)>0. A ∴ =1+a(1-a-a2)>1, D ∵D>0,∴A>D, B 类似地, =(1-a)(1+a2)=1-a+a2-a3 C =1-a(1-a+a2)<1. ∵C>0,故 B<C, 从而 D<A<B<C. 20. 【解析】 设全年需用去的运费和保管费的总费用为 y 元,题中的比例系数设为 k,每批购入 x 台, 3 600 则共需分 批, x

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每批费用 2 000x 元. 3 600 由题意知 y= ×400+k×2 000x, x 当 x=400 时,y=43 600, 1 解得 k= 20 3 600 ∴y= ×400+100x x 3 600 ≥2 ×400×100x x =24 000(元) 3 600 当且仅当 ×400=100x,即 x=120 时等号成立. x 故只需每批购入 120 台,可以使资金够用. 21. 【解析】 (1)令 x=1,y=0, 得 f(1+0)-f(0)=(1+2×0+1)×1=2, ∴f(0)=f(1)-2=-2. (2)令 y=0,f(x+0)-f(0)=(x+2×0+1)· x=x2+x, ∴f(x)=x2+x-2. (3)f(x)>ax-5 可化为 x2+x-2>ax-5, ax<x2+x+3, ∵x∈(0,2). x2+x+3 3 ∴a< =1+x+ . x x 当 x∈(0,2)时, 3 1+x+ ≥1+2 3, x 3 当且仅当 x= ,x= 3时取等号, x 3? 由 3∈(0,2)得? ?1+x+x?min=1+2 3,∴a<1+2 3. 22. 【解析】 (1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)对定义域内的一切 x 都成立, 即 b=0. 1 c 从而 f(x)= (x+ ). a x

? ?f?2?≥0, 又∵? ?f?-2?≥0, ? ? ?f?2?≥0, 即? ?-f?2?≥0, ?

∴f(2)=0,解之,得 c=-4.

? ? ?a>0, ?a<0, 再由 f(1)<f(3),得? 或? 从而 a>0. ?c<3 ?c>3, ? ?

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1 4 此时 f(x)= (x- ) a x 在[2,4]上是增函数. 3 1 4 3 注意到 f(2)=0,则必有 f(4)= ,∴ (4- )= , 2 a 4 2 即 a=2. 综上可知,a=2,b=0,c=-4. 1 4 (2)由(1),得 f(x)= (x- ),该函数在(-∞,0)以及(0,+∞)上均为增函数. 2 x 又∵-3≤-2+sinθ≤-1, ∴f(-2+sin θ)的值域为 5 3 [- , ]. 6 2 3 3 符合题设的实数 m 应满足 -m2> ,即 m2<0,故符合题设的实数 m 不存在. 2 2

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