2018年全国高中数学联赛(重庆赛区)预赛试题参考答案

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(3)(2)(1)2018年全国高中数学联赛(重庆赛区)预赛试题参考答案

一、填空题: 本大题共6小题,每小题8分,共48分,把答案填在横线上.

1.设集合{}21,2log A a b =-与 {}2=1,log (1664)B a b +-恰有一个公共元素为a , 则实数a = .

答案:6

解析:因为1,1,a a a a -≠+≠所以公共元素为 222log log (1664)b b =-,解得28,2log 6b a b ===。

2. 从正九边形中任取三个顶点构成三角形, 则正九边形的中心在三角形内的概率为 . 答案:

514 解析:如图,正9边形中包含中心的三角形有以下三种形状:

对于(1),有3种情况;对于(2),有9种情况;对于(3);有18种情况;故所求概率为393918514

P C ++== 3.设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,=AP AB λuu u r uu u r ,若

OP AB PA PB ?≥?u u u r u u u r u u r u u r ,则实数λ的取值范围是_______________.

答案:[1

解析:(1)(1,)AP AB OP OA OB λλλλλ=?=-+=-u u u r u u u r u u u r u u r u u u r ,则(1,1)PB λλ=--u u r

,(,)PA λλ=-u u r ,

2(1,)(1,1)(,)(1,1)2410OP AB PA PB λλλλλλλλ?≥??-?-≥-?--?-+≤u u u r u u u r u u r u u r ,解得:

11λ-≤≤,因点P 是线段AB 上的一个动点,所以01λ≤≤,综上,满足条件的λ

的取值范围是112λ-

≤≤.

4.顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是底面

圆内的点,O 为底面圆圆心,AB OB ⊥,垂足为B ,OH HB ⊥,垂足为H ,且4PA =,

C 为PA 的中点,则当三棱锥O HPC -的体积最大时,OB 的长为______.

5.已知复数z 的模为1,则22|4||3|z z i -++的最小值为_____________. 答案:17

解:在复平面内,设(4,0)A 、(0,3)B -,P 为单位圆上的点,问题转化为求22||||PA PB +的最小值,设(cos ,sin )P αα,其中R α∈

222222||||(cos 4)sin cos (sin 3)276sin 8cos PA PB αααααα+=-++++=+- 2710sin()17α?=++≥

由于R α∈,必存在α使sin()1α?+=-,即等号可以取到.

6.在ABC 中,222

sin sin 2018sin A C B +=,则2(tan tan )tan tan tan tan A C B A B C +=++ . 答案:22017

解析:因为222sin sin 2018sin A C B +=

所以222

2018a c b +=?

注意到:tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=?? 故2(tan tan )tan tan tan tan A C B A B C

+++ 2(tan tan )tan 11()tan tan tan tan tan tan A C B B A B C A C

+==+?? 22222222sin 1222()sin sin cos 20182017

B b ac b A

C B ac a c b b b =?===?+--. 二、解答题:本大题共4小题,第7、8题各16分,第9、10题各20分,共 72分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

7.(满分16分)设()f m 是正整数m 的各位数字的乘积,求方程2()1036f m m m =-- 的

正整数解.

解:设m 是n 位正整数,若3n ≥,则110

m -≥≥, ∴29()1036(10)3690369103610n n n f m m m m m m ≥=--=--≥-≥?->矛盾.此时无

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2018 年全国高中数学联赛(重庆赛区)预赛试题参考答案 一、填空题: 本大题共 6 小题,每小题 8 分,共 48 分,把答案填在横线上. 1.设集合 A ? ?a ?1, 2log2 b? 与 B=?a ?1, log2 (16b ? 64)? 恰有一个公共元素为 a , 则实 数a ? 答案: 6 . 解析:因为 a ? 1 ? a, a ? 1 ? a, 所以公共元素为 2log2 b ? log2 (16b ? 64) ,解得 b ? 8, a ? 2log2 b ? 6 。

2. 从正九边形中任取三个顶点构成三角形, 则正九边形的中心在三角形内的概率 为 . 答案: 5 14 解析:如图,正 9 边形中包含中心的三角形有以下三种形状: ( 1) ( 2) ( 3) 对于(1),有 3 种情况;对于(2),有 9 种情况;对于(3);有 18 种情况;故所求概率为 P? 3 ? 9 ? 18 5 ? 3 C9 14 3.设 O (0, 0) , A(1, 0) , B(0,1) ,点 P 是线段 AB 上的一个动点, AP=? AB ,若 uu u r uu u r uu u r uu u r uu r uur OP ? AB ? PA ? PB ,则实数 ? 的取值范围是_______________. 答案: [1 ? 2 2 ,1] uu u r uu u r uu u r uur uu u r uur AP ? ? AB ? OP ? (1 ? ? ) OA ? ? OB ? (1 ? ? , ? ) 解析: ,则 PB ? (? ?1,1 ? ? ) , uu r PA ? (?, ??) , uu u r uu u r uu r uur OP ? AB ? PA ? PB ? (1? ?, ?) ? (?1,1) ? (?, ??) ? (? ?1,1? ?) ? 2? 2 ? 4? ?1 ? 0 ,解得: 1? 2 2 ? ? ? 1? 2 2 , 因点 P 是线段 AB 上的一个动点, 所以 0 ? ? ? 1 , 综上, 满足条件的 ? 1? 的取值范围是 2 ? ? ?1 2 . 4.顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形, A 是底面圆周上的点, B 是底面 O 为底面圆圆心, AB ? OB , OH ? HB , 圆内的点, 垂足为 B , 垂足为 H , 且 PA ? 4 , 1 C 为 PA 的中点,则当三棱锥 O ? HPC 的体积最大时, OB 的长为______. 答案: 6 . 5.已知复数 z 的模为 1 ,则 | z ? 4 |2 ? | z ? 3i |2 的最小值为_____________. 答案: 17 解:在复平面内,设 A(4, 0) 、B(0, ?3) ,P 为单位圆上的点,问题转化为求 | PA |2 ? | PB |2 的 最小值,设 P(cos ? ,sin ? ) ,其中 ? ? R | PA |2 ? | PB |2 ? (cos ? ? 4)2 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? (sin ? ? 3)2 ? 27 ? 6sin ? ? 8cos ? ? 27 ? 10sin(? ? ? ) ? 17 由于 ? ? R ,必存在 ? 使 sin(? ? ? ) ? ?1 ,即等号可以取到. 2 2 2 6.在 ABC 中, sin A ? sin C ? 2018sin B ,则 (tan A ? tan C


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