第3讲 数学归纳法及其应用

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第3讲数学归纳法及其应用

一、选择题

1.用数学归纳法证明“2n>2n+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取()

A.2

B.3

C.5

D.6

解析∵n=1时,21=2,2×1+1=3,2n>2n+1不成立;

n=2时,22=4,2×2+1=5,2n>2n+1不成立;

n=3时,23=8,2×3+1=7,2n>2n+1成立.

∴n的第一个取值n0=3.

答案 B

2.某个命题与正整数有关,如果当n=k(k∈N*)时该命题成立,那么可以推出n =k+1时该命题也成立.现已知n=5时该命题成立,那么()

A.n=4时该命题成立

B.n=4时该命题不成立

C.n≥5,n∈N*时该命题都成立

D.可能n取某个大于5的整数时该命题不成立

解析显然A,B错误,由数学归纳法原理知C正确,D错.

答案 C

3.利用数学归纳法证明不等式“1+1

2+

1

3+…+

1

2n-1

>

n

2(n≥2,n∈N

*)”的过程

中,由“n=k”变到“n=k+1”时,左边增加了()

A.1项

B.k项

1项

D.2k项

解析左边增加的项为1

2k+

1

2k+1

+…+

1

2k+1-1

共2k项,故选D.

答案 D

4.对于不等式n2+n(1)当n=1时,12+1<1+1,不等式成立.

(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式k2+k(k +1)2+k +1=k 2+3k +2<(k 2+3k +2)+(k +2)=(k +2)2=(k +1)+1.

∴当n =k +1时,不等式成立,则上述证法( )

A.过程全部正确

B.n =1验得不正确

C.归纳假设不正确

D.从n =k 到n =k +1的推理不正确

解析 在n =k +1时,没有应用n =k 时的假设,不是数学归纳法. 答案 D

5.用数学归纳法证明1+2+3+…+n 2=n 4+n 22,则当n =k +1时左端应在n =k

的基础上加上( )

A.k 2+1

B.(k +1)2

C.(k +1)4+(k +1)22

D.(k 2+1)+(k 2+2)+…+(k +1)2

解析 当n =k 时,左端=1+2+3+…+k 2.

当n =k +1时,左端=1+2+3+…+k 2+(k 2+1)+(k 2+2)+…+(k +1)2, 故当n =k +1时,左端应在n =k 的基础上加上(k 2+1)+(k 2+2)+…+(k +1)2.故选D.

答案 D

二、填空题

6.设S n =1+12+13+14+…+12n ,则S n +1-S n =________.

解析 ∵S n +1=1+12+…+12n +12n +1+…+12n +2n , S n =1+12+13+14+…+12n .

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第3讲 一、选择题 数学归纳法及其应用 1.用数学归纳法证明“2n>2n+1 对于 n≥n0 的正整数 n 都成立”时,第一步证 明中的起始值 n0 应取( A.2 解析 B.3 ) C.5 D.6 ∵n=1 时,21=2,2×1+1=3,2n>2n+1 不成立; n=2 时,22=4,2×2+1=5,2n>2n+1 不成立; n=3 时,23=8,2×3+1=7,2n>2n+1 成立. ∴n 的第一个取值 n0=3. 答案 B 2.某个命题与正整数有关,如果当 n=k(k∈N*)时该命题成立,那么可以推出 n =k+1 时该命题也成立.现已知 n=5 时该命题成立,那么( A.n=4 时该命题成立 B.n=4 时该命题不成立 C.n≥5,n∈N*时该命题都成立 D.可能 n 取某个大于 5 的整数时该命题不成立 解析 答案 显然 A,B 错误,由数学归纳法原理知 C 正确,D 错. C ) 1 1 1 n 3.利用数学归纳法证明不等式“1+2+3+…+ n >2(n≥2,n∈N*)”的过程 2 -1 中,由“n=k”变到“n=k+1”时,左边增加了( A.1 项 解析 答案 B.k 项 C.2k-1 项 ) D.2k 项 1 1 1 左边增加的项为2k+ k +…+ k 1 共 2k 项,故选 D. 2 +1 2 + -1 D 4.对于不等式 n2+n<n+1(n∈N*),某同学用数学归纳法证明的过程如下: (1)当 n=1 时, 12+1<1+1,不等式成立. (2) 假 设当 n = k(k∈N*) 时, 不等式 k2+k <k + 1 成立,当 n = k + 1 时, (k+1)2+k+1= k2+3k+2< (k2+3k+2)+(k+2)= (k+2)2= (k+1)+1. ∴当 n=k+1 时,不等式成立,则上述证法( A.过程全部正确 B.n=1 验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确 解析 答案 在 n=k+1 时,没有应用 n=k 时的假设,不是数学归纳法. D 2 ) n4+n2 5.用数学归纳法证明 1+2+3+…+n = 2 ,则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础上加上( A.k2+1 B.(k+1)2 (k+1)4+(k+1)2 C. 2 D.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2 解析 当 n=k 时,左端=1+2+3+…+k2. ) 当 n=k+1 时,左端=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2, 故当 n=k+1 时,左端应在 n=k 的基础上加上(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2. 故选 D. 答案 D 二、填空题 1 1 1 1 6.设 Sn=1+2+3+4+…+2n,则 Sn+1-Sn=________. 1 1 1 1 解析 ∵Sn+1=1+2+…+2n+ n +…+ n , 2 +1 2 +2n 1 1 1 1 Sn=1+2+3+4+…+2n. 1 1 1 1 ∴Sn+1-Sn= n + n + n +…+ n . 2 +1 2 +2 2 +3 2 +2n 答案 1 1 1 1 + n + n +…+ n 2 +1 2 +2 2 +3 2 +2n n an 7.数列{an}中,已知 a1=2,an+1= (n∈N*),依次计算出 a2,a3,a4,猜 3an+1 想 an=________. 2 2 7 13 2 2 2 2 a1=2,a2= =7,a3= = , a = 4=


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