2010青岛市高三一模试题及答案

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青岛市高三教学质量统一检测

数学试题(理科) 2010.3

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟. 注意事项:

1.答卷前,考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上.

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上.

3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题:本大题共12小题.每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选

项中,只有一项是符合题目要求的.

1

(i 为虚数单位)等于

A .1

B .1-

C .i

D .i -

2.若集合}11,|{3

1≤≤-==x x y y A ,}1{x y x B -==,则A B = A .(]1,∞- B .]1,1[-

C .φ

D .{1}

3.设p 和q 是两个简单命题,若p ?是q 的充分不必要条件,则p 是q ?的 A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

4.计算机执行下面的程序段后,输出的结果是

1=a 3=b b a a += b a b -= PRINT b a ,A .1 3 B .4 1 C . 0 0 D .60

5.若dx x a ?=

22

sin π,dx x b ?

=10

cos ,则a 与b 的关系是

A .b a <

B .b a >

C .b a =

D .0=+b a

6.圆222210x y x y +--+=上的点到直线2=-y x 的距离的最大值是

A .2

B. 1

C .2+

D. 1+7.已知抛物线2x ay =的焦点恰好为双曲线222y x -=的上焦点,则a 的值为

A .1

B .4

C .8

D .168.将奇函数()sin()(0,0,)2

2

f x A x A π

π

ωφωφ=+≠>-<<

的图象向左平移

6

π

个单位得到的图象关于原点对称,则ω的值可以为

A .2

B .3

C .4

D .6 9.已知28

1(0,0)x y x y

+=>>,则x y +的最小值为

A .12

B .14

C .16

D .18

10.过原点的直线与函数x y 2=的图像交于B A ,两点,过B 作y 轴的垂线交于函数x y 4=的图像于点C ,若直线AC 平行于y 轴,则点A 的坐标是

A .)2,1(

B .)4,2(

C .)2,2

1

( D .)1,0(

11.在数列}{n a 中,a a a n n +=+1(a n ,N *

∈为常数),若平面上的三个不共线的非零向量

,,满足a a 20101+=,三点C B A ,,共线且该直线不过O 点,则2010S 等

A .1005

B .1006

C .2010

D .2012

12.平面α外有两条直线m 和n ,如果m 和n 在平面α内的射影分别是直线1m 和直线1n ,给出下列四个命题: ①1m ⊥1n ?m ⊥n ; ②m ⊥n ?1m ⊥1n ; ③1m 与1n 相交?m 与n 相交或重合; ④1m 与1n 平行?m 与n 平行或重合; 其中不正确...

的命题个数是 A.1 B. 2 C.3 D. 4

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.

13.若n

x

x )1(+展开式中第2项与第6项的系数相同,那么展开式的中间一项的系数

为 ;

14.已知区域}0,5,0|),{(},0,0,10|),{(≥≤≥-=≥≥≤+=Ωy x y x y x A y x y x y x ,若

向区域Ω上随机投1个点,则这个点落入区域A 的概率()P A = ; 15.关于x 的不等式|2||1|5x x ++-<的解集为 ;

16.已知函数?

??=x x x f 3log )(2)0()0(≤>x x ,且关于x 的方程0)(=-+a x x f 有且只有一个实根,

则实数a 的范围是 .

三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过

程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)

已知向量)cos ,2sin 3(x t x m +=,)cos 2,1(x n =,设函数n m x f ?=)(. (Ⅰ)若2

1

)3

2cos(=

-

π

x ,且⊥,求实数t 的值; (Ⅱ)在ABC ?中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,若1,3)(==b A f ,且ABC ?的面积为2

3,实数1=t ,求边长a 的值.

18.(本小题满分12分)

某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2种服装商品, 2种家电商品, 3种日用商品中,选出3种商品进行促销活动.

(Ⅰ)试求选出的3种商品中至多有一种是家电商品的概率;

(Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高x 元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为40元的奖券.假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是2

1

,若使促销方案对商场有利,则x 最少为多少元?

19.(本题满分共12分)

下图分别为三棱锥ABC S -的直观图与三视图,在直观图中,SA SC =,

N M 、分别为SB AB 、的中点.

(Ⅰ)求证:SB AC ⊥;

(Ⅱ)求二面角B NC M --的余弦值.

20.(本题满分共12分)

已知各项均为正数的数列{}n a 满足12

21

2+++

=n n n n a a a

a ,

且42342+=+a

a a ,其中*

∈N n .

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;

(Ⅱ)设数列{}n b 的前n 项和为n T ,令2

n n a b =,其中*

∈N n ,试比较

n n T T 4121++与

1

log 22

212-++n n b b 的大小,并加以证明.

21.(本题满分12分)

已知定义在正实数集上的函数ex x x f 22

1)(2

+=

,b x e x g +=ln 3)(2(其中e 为常数,2.71828e =???),若这两个函数的图象有公共点,且在该点处的切线相同.

(Ⅰ)求实数b 的值;

(Ⅱ)当??

?

???∈e e x ,1时,x a e x g e a

ex x f )2())(2(6)2)((22

2+≤++-恒成立,求实数a 的取值范

围.

22.(本题满分14分)

已知椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 的左右两焦点分别为21,F F ,P 是椭圆C 上的一点,且

在x 轴的上方,H 是1PF 上一点,若12120,0PF F F PF ==?=?,

??

?

???∈21,31λ(其中O 为坐标原点).

(Ⅰ)求椭圆C 离心率e 的最大值;

A B

C M S N

侧视图

俯视图

4

(Ⅱ)如果离心率e 取(Ⅰ)中求得的最大值, 已知22

=b ,点),(01-M ,设Q 是椭圆C 上的一

点,过Q 、M 两点的直线l 交y 轴于点N ,若2NQ QM =

, 求直线l 的方程.

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青岛市高三教学质量统一检测

数学试题(理科)

2010.3

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、 考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答 案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.

1.复数 A. 1

1

3 ?i ( i 为虚数单位)等于 1 ? 3i

B. ? 1 C. i D. ? i

2.若集合 A ? { y | y ? x 3 ,?1 ? x ? 1} , B ? {x y ? 1 ? x} ,则 A ? B ? A. ?? ?,1? B. [ ?1,1] C. ? D.{ 1 }

3.设 p 和 q 是两个简单命题,若 ? p 是 q 的充分不必要条件,则 p 是 ? q 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.计算机执行下面的程序段后,输出的结果是

a ?1 b?3 a ? a?b b ? a ?b

PRINT A. 1 5.若 a ?

2

a, b

B. 4

1 0

3

1

C. 0

0

D. 6

0

? ? sin xdx , b ? ?

2

cos xdx ,则 a 与 b 的关系是

C. a ? b D. a ? b ? 0

A. a ? b

B. a ? b

suy.Iwz'Tcqklearnig,fdthpobm

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6.圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离的最大值是 B. 1 ? 2 C. 2 ?

A. 2

2 2

D. 1 ? 2 2

7.已知抛物线 x 2 ? ay 的焦点恰好为双曲线 y 2 ? x2 ? 2 的上焦点,则 a 的值为 A. 1 B. 4 C. 8 D. 16

8.将奇函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? 的图象关于原点对称,则 ? 的值可以为 A. 2 B. 3 9.已知

?

2

?? ?

?

2

) 的图象向左平移

? 个单位得到 6

C. 4

D. 6

2 8 ? ? 1( x ? 0, y ? 0) ,则 x ? y 的最小值为 x y

B. 14 C. 16 D. 18

A. 12

10. 过原点的直线与函数 y ? 2 x 的图像交于 A, B 两点, 过 B 作 y 轴的垂线交于函数 y ? 4 x 的 图像于点 C ,若直线 AC 平行于 y 轴,则点 A 的坐标是 C. ( , 2 )

?

A. (1,2)

B. ( 2,4)

1 2

D. (0,1)

11.在数列 {an } 中, an?1 ? an ? a ( n ? N , a 为常数) ,若平面上的三个不共线的非零向量

OA, OB, OC 满足 OC ? a1 OA ? a2010 OB ,三点 A, B, C 共线且该直线不过 O 点,则 S 2010 等

于 A. 1005 B. 1006 C. 2010 D. 2012 12.平面 ? 外有两条直线 m 和 n ,如果 m 和 n 在平面 ? 内的射影分别是直线 m1 和直线 n1 , 给出下列四个命题: ① m1 ⊥ n1 ? m ⊥ n ; ② m ⊥ n ? m1 ⊥ n1 ;

③ m1 与 n1 相交 ? m 与 n 相交或重合; 其中不正确 的命题个数是 ... A. 1 B. 2

④ m1 与 n1 平行 ? m 与 n 平行或重合;

C. 3

D. 4

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 1 n 13 .若 ( x ? ) 展开式中第 2 项与第 6 项的系数相同,那么展开式的中间一项的系数 x

为 ;

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14 .已知区域 ? ? {( x, y) | x ? y ? 10, x ? 0, y ? 0}, A ? {( x, y) | x ? y ? 0, x ? 5, y ? 0} ,若 向区域 ? 上随机投 1 个点,则这个点落入区域 A 的概率 P ? A? ? 15.关于 x 的不等式 | x ? 2 | ? | x ? 1|? 5 的解集为 ; ;

?log2 x ( x ? 0) 16.已知函数 f ( x) ? ? x ,且关于 x 的方程 f ( x) ? x ? a ? 0 有且只有一个实根, ( x ? 0) ?3

则实数 a 的范围是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤.

17. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? ( 3 sin 2x ? t, cos x) , n ? (1,2 cos x) ,设函数 f ( x) ? m ? n . (Ⅰ)若 cos( 2 x ?

?

3

)?

1 ,且 m ? n ,求实数 t 的值; 2

(Ⅱ )在 ?ABC 中 , a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, 若 f ( A) ? 3, b ? 1 , 且 ?ABC 的面积为 实数 t ? 1 ,求边长 a 的值.

3 , 2

18. (本小题满分 12 分) 某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从 2 种服装商品, 2 种家电 商品, 3 种日用商品中,选出 3 种商品进行促销活动. (Ⅰ)试求选出的 3 种商品中至多有一种是家电商品的概率; (Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高 x 元,同时,若顾客购买该商品,则允许有 3 次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为 40 元 的奖券.假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是 元? 19.(本题满分共 12 分) 下图分别为三棱锥 S ? ABC 的直观图与三视图,在直观图中, SA ? SC ,

1 ,若使促销方案对商场有利,则 x 最少为多少 2

M、N 分别为 AB 、SB 的中点.

(Ⅰ)求证: AC ? SB ; (Ⅱ)求二面角 M ? NC ? B 的余弦值.

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S N

2 2

C

正视图

侧视图

4

A M B

4 4

俯视图

20.(本题满分共 12 分)

2 2 已知各项均为正数的数列 ?an ? 满足 an ?1 ? 2an ? an an?1 ,且 a2 ? a4 ? 2a3 ? 4 ,其中 n ? N .

?

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,令 bn ? an ,其中 n ? N ,试比较

2

?

Tn ?1 ? 12 2 log2 bn ?1 ? 2 与 4Tn 2 log2 bn ? 1

的大小,并加以证明.

21.(本题满分 12 分) 已知定义在正实数集上的函数 f ( x) ?

1 2 x ? 2ex , g ( x) ? 3e 2 ln x ? b (其中 e 为常数, 2

e ? 2.71828 ??? ),若这两个函数的图象有公共点,且在该点处的切线相同.

(Ⅰ)求实数 b 的值; (Ⅱ)当 x ? ? , e? 时, 2( f ( x) ? 2ex ) ? 2 (2 g ( x) ? e ) ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取值范 6e ?e ?

2

?1 ?

a

围. 22.(本题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右两焦点分别为 F1 , F2 , P 是椭圆 C 上的一点,且 a2 b2

在 x 轴的上方, H 是 PF1 上一点,若 PF2 ? F1 F2 ? 0, OH ? PF 1 ? 0, OH ? ? OF 1 ,

? ? ? , ? (其中 O 为坐标原点). ?3 2 ?

(Ⅰ)求椭圆 C 离心率 e 的最大值;

?1 1 ?

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0) (Ⅱ)如果离心率 e 取(Ⅰ)中求得的最大值, 已知 b ? 2 ,点 M( ? 1, ,设 Q 是椭圆 C 上的一

2

点,过 Q 、 M 两点的直线 l 交 y 轴于点 N ,若 NQ ? 2QM , 求直线 l 的方程.

????

???? ?

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数学试题(理科)答案

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. CBBBA BCDDA AD 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 13. 20 14.

2010.3

1 4

( ? 3, 2) 15.

( 1, ? ?) 16.

三、解答题(共 74 分) . 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意得 m ? n ? ( 3 sin 2 x ? t ) ? 2 cos x ? 2 sin(2 x ?

2

? ) ? t ? 1 ? 0 …………3 分 6

所以 t ? ?2 sin( 2 x ?

?

) ? 1 ? ?2 cos( 2 x ? ) ? 1 ? ?2 …………………6 分 6 3

?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? 由题意得 f ( A) ? 2 sin( 2 A ? 所以 sin( 2 A ?

?

?

6

6

) ? t ? 1 ? 2 sin( 2 x ?

?

6

)?2

)?2?3

?

6

)?

因为 0 ? A ? ?, 解得 A ?

?

6

?

3

1 …………………8 分 2 ? 13? ? 5? ? 2A ? ? ,所以 2 A ? ? 6 6 6 6

因为 ?ABC 的面积为

3 1 3 ,所以 bc sin A ? , bc ? 2 即 c ? 2 …………10 分 2 2 2

2 2

由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 1 ? 4 ? 2 ?1? 2 ? 18. (本小题满分 12 分)

3 解: (Ⅰ)选出 3 种商品一共有 C7 种选法, …………2 分

1 ? 3 …………12 分 2

选出的 3 种商品中至多有一种是家电商品有 C5 ? C2C5 种. …………4 分

3 1 2

所以至多有一种是家电商品的概率为 P ?

3 1 2 C5 ? C2 C5 6 ? .…………5 分 3 7 C7 (Ⅱ)奖券总额是一随机变量,设为 ? ,可能值为 0 , 40 , 80 , 120 .…………6 分

0 3 0 3

?1? ?1? 1 P?? ? 0? ? C ? ? ? ? ? ? , ? 2? ? 2? 8

3 ?1? ?1? P?? ? 40? ? C ? ? ? ? ? ? , 8 ?2? ?2?

1 3 1 2

…………7 分 …………8 分

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?1? P?? ? 80? ? C32 ? ? ? 2?

2

?1? 3 ?? ? ? , ? 2? 8

3

1

…………9 分 …………10 分

40 80 120 1 3 3 1 P 8 8 8 8 1 3 3 1 所以 EX ? 0 ? ? 40 ? ? 80 ? ? 120 ? ? 60 . 8 8 8 8 x ? 60 所以 ,因此要使促销方案对商场有利,则 x 最少为 60 元. …………12 分

19.(本题满分 12 分) 解: 由题意知: SA ? SC ? 2 3 ,侧面 SAC ? 底面 ABC , 底面 ?ABC 为正三角形…………2 分 (Ⅰ) 取 AC 的中点 O ,连结 OS, OB . 因为 SA ? SC, AB ? BC , 所以 AC ? SO, AC ? OB . 所以 AC ? 平面 OSB . 所以 AC ? SB …………4 分

3? 1 ? P?? ? 120? ? C3 ? ? ?2? ?

?1? 1 ?? ? ? . ? 2? 8

0

0

z S N

C O A x M

B

y

(Ⅱ) 如图所示建立空间直角坐标系 O ? xyz , 则 A(2,0,0), B(0,2 3,0),C(?2,0,0), S (0,0,2 2 ), M (1, 3,0), N (0, 3, 2 ) .

??? ? ??? ? AC ? (?4,0,0), SB ? (0, 2 3, ?2 2) . CM ? (3, 3,0), MN ? (?1,0, 2 ).…………6 分

设 n ? ( x, y, z ) 为平面 CMN 的一个法向量, 则?

? ?n ? CM ? 3x ? 3 y ? 0 ? ?n ? MN ? ? x ? 2 z ? 0

,取 z ? 1 ,得 x ?

2, y ? ? 6 .

所以 n ? ( 2 ,? 6 ,1) …………8 分 又由上可得 CB ? (2,2 3,0),CN ? (2, 3, 2 ). 设 m ? (a, b, c) 为平面 NBC 的法向量, 由?

? ?m ? CB ? 2a ? 2 3b ? 0 ? ?m ? CN ? 2a ? 3b ? 2c ? 0

,得 a ? 2c ? 0 ,

令 c ? 1 ,则 m ? (? 2 ,

6 ,1) …………10 分 3

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所以 cos ? n, m ??

m?n | m ||n |

?

? 2 ? 2 ?1 33 ?? 11 33 3? 3

33 . …………12 分 11

所以二面角 M ? NC ? B 的余弦值为 20.(本题满分 12 分)

2 2 解:(Ⅰ)因为 an ?1 ? 2an ? an an?1 ,即 (an?1 ? an )(2an ? an?1 ) ? 0

又 an ? 0 ,所以有 2an ? an?1 ? 0 ,所以 2an ? an?1 所以数列 ?an ? 是公比为 2 的等比数列…………2 分 由 a2 ? a4 ? 2a3 ? 4 得 2a1 ? 8a1 ? 8a1 ? 4 ,解得 a1 ? 2 故数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2 n (n ? N ? ) …………4 分 (Ⅱ) 因 bn ? an ? 22n ? 4n ,所以 b1 ? 4,

2

bn?1 ?4 bn

即数列 ?bn ? 是首项为 4 ,公比是 4 的等比数列 所以 Tn ? 则

4 n (4 ? 1) …………6 分 3

Tn?1 ? 12 4 n?1 ? 8 3 ? ? 1? n n 4Tn 4(4 ? 1) 4 ?1

2 log2 bn?1 ? 2 4n ? 6 7 ? ? 1? 2 log2 bn ? 1 4n ? 1 4n ? 1

Tn?1 ? 12 2 log2 bn?1 ? 2 3 7 4(3n ? 1 ? 7 ? 4 n?1 ) ? ? n ? ? 4Tn 2 log2 bn ? 1 4 ? 1 4n ? 1 (4 n ? 1)(4n ? 1)

猜想: 7 ? 4

n?1

? 3n ? 1 …………8 分

0 ①当 n ? 1 时, 7 ? 4 ? 7 ? 3 ?1 ? 1 ? 4 ,上面不等式显然成立; k ?1 ②假设当 n ? k 时,不等式 7 ? 4 ? 3k ? 1 成立…………9 分

当 n ? k ? 1 时,

7 ? 4k ? 4 ? 7 ? 4k ?1 ? 4(3k ? 1) ? 12k ? 4 ? 3k ? 4 ? 3(k ? 1) ? 1

综上①②对任意的 n ? N 均有 7 ? 4

? n?1

? 3n ? 1 …………11 分

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又 4n ? 1 ? 0, 4n ?1 ? 0

?

Tn?1 ? 12 2 log2 bn?1 ? 2 ? ?0 4Tn 2 log2 bn ? 1

?

所以对任意的 n ? N 均有 21.(本题满分 12 分)

Tn?1 ? 12 2 log2 bn?1 ? 2 …………12 分 ? 4Tn 2 log2 bn ? 1

3e 2 解:(Ⅰ) f ?( x) ? x ? 2e , g ?( x ) ? ………………1 分 x

设函数 f ( x) ?

1 2 2 x ? 2ex 与 g ( x) ? 3e ln x ? b 的图象有公共点为 ( x0 , y0 ) 2

?1 2 2 ? 2 x0 ? 2ex0 ? 3e ln x0 ? b ? 3e 2 ? 由题意得 ? x 0 ? 2e ? ………………………3 分 x0 ? ? x0 ? 0 ? ?

解得: b ? ?

e2 ………………………5 分 2

2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, g ( x) ? 3e ln x ? 所以 2( f ( x) ? 2ex ) ?

2

e2 2

a (2 g ( x) ? e 2 ) ? x 2 ? a ln x 2 6e

即 a(x ? ln x) ? x ? 2 x?(1) 当 x ? [ ,1) 时, ln x ? 0 ,? x ? ln x ? 0 当 x ? ?1, e? 时, ln x ? 1 ? x ,且等号不能同时成立,? x ? ln x ? 0

1 e

x 2 ? 2x ?1 ? 所以,则由(1)式可得 a ? 在 , e? 上恒成立……………………7 分 x ? ln x ? ?e ?

设 F ( x) ?

x 2 ? 2x ?1 ? , x ? ? , e? x ? ln x ?e ?

( x ? 1)(x ? 2 ? 2 ln x) ……………………9 分 ( x ? ln x) 2

又 F ?( x) ?

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令 F ?( x) ? 0 得: x ? 1 又 ln x ? 1,? x ? 2 ? 2 ln x ? 0 所以,当 x ? ? ,1? 时, F ?( x) ? 0 ;当 x ? ?1, e? 时, F ?( x) ? 0 ; 所以, F ( x) 在 [ ,1) 上为减函数, F ( x) 在 ?1, e? 上为增函数…………11 分

?1 ? ?e ?

1 e

又 F( ) ?

1 e

e 2 ? 2e 1 ? 2e ? 0 ? F (e) ? e(e ? 1) e ?1

故 F ( x) max ? F (e) ?

e 2 ? 2e e ?1

? e 2 ? 2e ? 所以实数 a 的取值范围是 ? ,?? ? ? ……………12 分 ? e ?1 ?

22.(本题满分 14 分) 解:(Ⅰ)由题意知 PF2 ? F1 F2 , OH ? PF 1 则有 ?F1OH 与 ?F1 PF2 相似 所以

OH OF1

?

PF2 F1 P

? ? ……………2 分

设 F1 (?c,0), F2 (c,0), c ? 0 , P(c, y1 )

b2 c 2 y1 则有 2 ? 2 ? 1 ,解得 y1 ? a a b

所以 PF2 ? y1 ?

2

b2 a b2 ……………4 分 a

根据椭圆的定义得: F1 P ? 2a ? PF 2 ? 2a ?

b2 b2 2? ?? ? 2 ,即 2 ? 2 1? ? 2a ? b a

所以 e ?

2

c2 b2 2 ? 1 ? ? ? 1 ……………6 分 2 2 1? ? a a

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2 1 1 ? 1 在 [ , ] 上是单调减函数 3 2 1? ? 1 1 2 当 ? ? 时, e 取最大值 3 2

显然 e ?

2

所以椭圆 C 离心率 e 的最大值是

2 ……………8 分 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 e ?

2

c2 b2 2 1 ? 1 ? ? 1 ? 2 ? ,解得 a 2 ? 4 2 2 2 a a a x2 y2 ? ? 1 ……………10 分 4 2

所以此时椭圆 C 的方程为

由题意知直线 l 的斜率存在,故设其斜率为 k , 则其方程为 y ? k ( x ? 1), N (0, k ) 设 Q( x1 , y1 ) ,由于 NQ ? 2QM ,所以有 ( x1 , y1 ? k ) ? 2(?1 ? x1 ,? y1 )

2 k ? x1 ? ? , y1 ? ……………12 分 3 3 2 k (? ) 2 ( ) 2 3 ? 3 ?1 又 Q 是椭圆 C 上的一点,则 4 2 解得 k ? ?4

所以直线 l 的方程为 4 x ? y ? 4 ? 0 或 4 x ? y ? 4 ? 0 ……………14 分

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