黑龙江省各地市高考数学 最新联考试题分类汇编(9)直线与圆

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黑龙江省各地市 高考数学最新联考试题分类汇编(9)直线与圆

一、选择题:

6.(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟理)已知圆C过点,且圆心在x轴的正半轴上,直线被该圆所截得的弦长为,则圆C的标准方程为( )

(A) (B)

(C (D)

答案】A

6. (黑龙江省教研联合体2013届高三第二次模拟理)若点是圆的弦AB的中点,则直线的方程为

A. B. C. D.

【答案】A

5.(东北三校2013届高三第二次联合模拟文)直角坐标系中坐标原点O关于直线l:的对称点为A(1,1),则的值为

A.

B.

C.

D.

【答案】B

11.(东北三校2013届高三第二次联合模拟文)已知圆M过定点(2,0),且圆心M在抛物线上运动,若y轴截圆M所得弦为AB,则弦长|AB|等于

A.4

B.3

C.2

D.与点M位置有关

【答案】A

二、填空题:

16.(黑龙江省哈师大附中2013届第三次高考模拟理)已知圆O:x2 + y2 = 1,直线x - 2y + 5 = 0上动点P,过点P作圆O的一条切线,切点为A,则的最小值为__________

【答案】4

三、解答题:

20.(东北三省三校 3月高三第一次联合模拟理)(本小题满分12分)

已知点E(m,0)为抛物线内的一个定点,过E作斜率分别为k1、k2的两条直线交抛物线于点A、B、C、D,且M、N分别是AB、CD的中点

(1)若m = 1,k1k2 = -1,求三角形EMN面积的最小值;

(2)若k1 + k2 = 1,求证:直线MN过定点。

解析:(Ⅰ)当时,E为抛物线的焦点,

,∴AB⊥CD

设AB方程为

,得

AB中点,∴,同理,点……2分

……4分

当且仅当,即时,△EMN的面积取最小值4. ……6分

(Ⅱ)证明:设AB方程为

,得

AB中点,∴,同理,点……8分

……10分

∴MN:,即

∴直线MN恒过定点. ……12分

20)(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟文)(本小题满分12分)

已知抛物线,点M(m,0)在x轴的正半轴上,过M的直线l与C相交于A、B两点,O为坐标原点.

(Ⅰ)若m=1,l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程;

(Ⅱ)若存在直线l使得成等比数列,求实数m的取值范围.

(Ⅱ)解:设A, B两点坐标为, .

,

所以

因为点A, B在抛物线C上,

所以,

,消去.

若此直线l使得成等比数列,则

,所以

因为,所以

整理得, ③

因为存在直线l使得成等比数列,

所以关于x1的方程有正根,

因为方程的两根之积为m2>0, 所以只可能有两个正根,

所以,解得.

故当时,存在直线l使得成等比数列.

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黑龙江省各地市 高考数学最新联考试题分类汇编(9)直线与圆

一、选择题: 6.(黑龙江省哈六中 2013 届高三第二次模拟理)已知圆 C 过点 (1,0) ,且圆心在 x 轴的正半 轴上,直线 l : y ? x ? 1 被该圆所截得的弦长为 2 2 ,则圆 C 的标准方程为( (A) ( x ? 3)2 ? y 2 ? 4 (C ) ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 【 答案】A 6. (黑龙江省教研联合体 2013 届高三第二次模拟理)若点 P (1,1) 是圆 x ? ( y ? 3) ? 9 的弦

2 2

(B) ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 (D) ( x ? 3)2 ? y 2 ? 4

AB 的中点,则直线的 AB 方程为 A. x ? 2 y ? 1 ? 0 【答案】A 5 . ( 东 北三校 2013 届 高三 第二次联合模 拟文 ) 直角坐标系中坐标原点 O 关于直线 B. x ? 2 y ? 3 ? 0 C. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 1 ? 0

l: 2 x tan a ? y ? 1 ? 0 的对称点为 A(1,1 ) ,则 tan 2a 的值为

A. ? 【答案】B 11. (东北三校 2013 届高三第二次联合模拟文)已知圆 M 过定点 (2,0) , 且圆心 M 在 y ? 4 x

2

4 3

B.

4 3

C. 1

D.

4 5

抛物线上运动,若 y 轴截圆 M 所得弦为 AB,则弦长|AB|等于 A.4 C.2 【答案】A 二、填空题: 16.(黑龙江省哈师大附中 2013 届第三次高考模拟理)已知圆 O:x + y = 1,直线 x - 2y + 5 = 0 上动点 P,过点 P 作圆 O 的一条切线,切点为 A,则 PO ? PA 的最小值为__________ 【答案】4 三、解答题: 20.(东北三省三校 3 月高三第一次联合模拟理)(本小题满分 12 分) 已知点 E(m,0)为抛物线内的一个定点,过 E 作斜率分别为 k1、k2 的两条直线交抛物线

2 2

B.3 D.与点 M 位置有关

1

于点 A、B、C、D,且 M、N 分别是 AB、CD 的中点 (1)若 m = 1,k1k2 = -1,求三角形 EMN 面积的最小值; (2)若 k1 + k2 = 1,求证:直线 MN 过定点。 解析: (Ⅰ)当 m ? 1 时,E 为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, ∵ k1k2 ? ?1,∴AB⊥CD 设 AB 方程为 y ? k1 ( x ? 1) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 由

? y ? k1 ( x ? 1) , 得 k1 y2 ? 4 y ? 4k1 ? 0 , ? 2 ? y ? 4x

y1 ? y2 ?

4 , y1 y2 ? ?4 k1

x1 ? x2 y1 ? y2 2 2 , ) ,∴ M ( 2 ? 1, ) ,同理,点 N (2k12 ? 1, ?2k1 ) ……2 分 2 2 k1 k1

AB 中点 M (

∴ S?EMN ?

1 1 2 2 1 | EM | ? | EN |? ( 2 )2 ? ( )2 ? (2k12 )2 ? (?2k1 )2 ? 2 k12 ? 2 ? 2 ……4 分 2 2 k1 k1 k1

? 2 2?2 ? 4

当且仅当 k1 ?

2

1 ,即 k1 ? ?1时,△EMN 的面积取最小值 4. k12

……6 分

(Ⅱ)证明:设 AB 方程为 y ? k1 ( x ? m) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 由?

? y ? k1 ( x ? m) ? y ? 4x

2

,得 k1 y2 ? 4 y ? 4k1m ? 0 , y1 ? y2 ?

4 , y1 y2 ? ?4m k1

AB 中点 M (

x1 ? x2 y1 ? y2 2 2 2 2 , ) ,∴ M ( 2 ? m, ) ,同理,点 N ( 2 ? m, ) ……8 分 2 2 k1 k1 k2 k2

……10 分

∴ kMN ?

yM ? yN kk ? 1 2 ? k1k2 xM ? xN k1 ? k2 2 2 ? k1k2 [ x ? ( 2 ? m)] ,即 y ? k1k2 ( x ? m) ? 2 k1 k1

∴MN: y ?

2

∴直线 MN 恒过定点 (m, 2) . ( 20)(黑龙江省哈六中 2013 届高三第二次模拟文)(本小题满分 12 分)

……12 分

已知抛物线 C : y 2 ? 4x ,点 M(m,0)在 x 轴的正半轴上,过 M 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,O 为坐标原点. (Ⅰ)若 m=1,l 的斜率为 1,求以 AB 为直径的圆的方程; (Ⅱ)若存在直线 l 使得 | AM |, | OM |, | MB | 成等比数列,求实数 m 的取值范围.

(Ⅱ)解:设 A, B 两点坐标为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , MB ? ? AM (? ? 0) . 则 AM ? (m ? x1, ? y1 ), MB ? ( x2 ? m, y2 ) , 所以 ?

? x2 ? m ? ? ( m ? x1 ) ? y2 ? ?? y1

因为点 A, B 在抛物线 C 上,

2 所以 y12 = 4x1 , y2 = 4x2 ,

由○ 1○ 2 ,消去 x2 , y1 , y2 得 ? x1 ? m .

3

若此直线 l 使得 | AM |, | OM |, | MB | 成等比数列,则 | OM |2 ?| MB | ? | AM | ,

2 即 | OM |2 ? ? | AM | ? | AM | ,所以 m2 ? ?[( x1 ? m)2 ? y1 ],

因为 y12 = 4 x1 , ? x1 ? m ,所以 m2 ?

2 整理得 x1 ? (3m ? 4) x1 ? m2 ? 0 ,

m [( x1 ? m)2 ? 4 x1 ] , x1

因为存在直线 l 使得 | AM |, | OM |, | MB | 成等比数列, 所以关于 x1 的方程○ 3 有正根, 因为方程○ 3 的两根之积为 m >0, 所以只可能有两个正根,

2

?3m ? 4 ? 0 ? 所以 ? m 2 ? 0 ,解得 m ? 4 . ?? ? (3m ? 4) 2 ? 4m 2 ? 0 ?

故当 m ? 4 时,存在直线 l 使得 | AM |, | OM |, | MB | 成等比数列.

4


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