专题探究课五高考中解析几何问题的热点题型

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专题探究课五 高考中解析几何问题的热点题型

1.(2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=

与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点,

(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;

(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.

解 (1)由题设可得M(2

,a),N(-2

,a),

或M(-2

,a),N(2

,a).

又y′=

,故y=

在x=2

处的导数值为

,C在点(2

,a)处的切线方程为y-a=

(x-2

),

x-y-a=0.

y=

在x=-2

处的导数值为-

,C在点(-2

,a)处的切线方程为y-a=-

(x+2

),

x+y+a=0.

故所求切线方程为

x-y-a=0和

x+y+a=0.

(2)存在符合题意的点,证明如下:

设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.

将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.

故x1+x2=4k,x1x2=-4a.

从而k1+k2=

.

当b=-a时,有k1+k2=0,

则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,

故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.

2.(2016·北京卷)已知椭圆C:

=1过点A(2,0),B(0,1)两点.

(1)求椭圆C的方程及离心率;

(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.

(1)解 由题意知a=2,b=1.

所以椭圆方程为

+y2=1,又c=

.

所以椭圆离心率e=

.

(2)证明 设P点坐标为(x0,y0)(x0<0,y0<0),则x

+4y

=4,由B点坐标(0,1)得直线PB方程为:y-1=

(x-0),

令y=0,得xN=

,从而|AN|=2-xN=2+

由A点坐标(2,0)得直线PA方程为y-0=

(x-2),

令x=0,得yM=

从而|BM|=1-yM=1+

所以S四边形ABNM=

|AN|·|BM|

=2.

即四边形ABNM的面积为定值2.

3.已知中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆过点P(2,

),且它的离心率e=

.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)与圆(x-1)2+y2=1相切的直线l:y=kx+t交椭圆于M,N两点,若椭圆上一点C满足

=λ

,求实数λ的取值范围.

解 (1)设椭圆的标准方程为

=1(a>b>0),

由已知得:

解得

所以椭圆的标准方程为

=1.

(2)因为直线l:y=kx+t与圆(x-1)2+y2=1相切,

所以

=1?2k=

(t≠0),

把y=kx+t代入

=1并整理得:

(3+4k2)x2+8ktx+(4t2-24)=0,

设M(x1,y1),N(x2,y2),则有x1+x2=-

y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=

因为λ

=(x1+x2,y1+y2),

所以C

又因为点C在椭圆上,所以,

=1?λ2=

因为t2>0,所以

+1>1,

所以0<λ2<2,所以λ的取值范围为(-

,0)∪(0,

).

4.已知椭圆C的方程为:x2+2y2=4.

(1)求椭圆C的离心率;

(2)设O为坐标原点,若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长度的最小值.

解 (1)由题意,椭圆C的标准方程为

=1,

所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.

因此a=2,c=

.

故椭圆C的离心率e=

.

(2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x0≠0.

因为OA⊥OB,则

·

=0,

所以tx0+2y0=0,解得t=-

.

又x

+2y

=4,

所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=

+(y0-2)2

=x

+y

+4=x

+4=

+4(0

≤4)

因为

≥4(0

≤4),当且仅当x

=4时等号成立,

所以|AB|2≥8.

故线段AB长度的最小值为2

.

5.如图,已知椭圆C:

+y2=1(a>1)的上顶点为A,右焦点为F,直线AF与圆M:x2+y2-6x-2y+7=0相切.

(1)求椭圆C的方程;

(2)若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且

·

=0,求证:直线l过定点,并求出该定点N的坐标.

(1)解 将圆M的一般方程x2+y2-6x-2y+7=0化为标准方程为(x-3)2+(y-1)2=3,

圆M的圆心为M(3,1),半径r=

.

由A(0,1),F(c,0)(c=

)得直线AF:

+y=1,

即x+cy-c=0.

由直线AF与圆M相切,得

.

∴c=

或c=-

(舍去).

∴a=

,∴椭圆C的方程为

+y2=1.

(2)证明 由

·

=0,知AP⊥AQ,从而直线AP与坐标轴不垂直,

由A(0,1)可设直线AP的方程为y=kx+1,直线AQ的方程为y=-

x+1(k≠0),

将y=kx+1代入椭圆C的方程

+y2=1并整理得:

(1+3k2)x2+6kx=0,

解得x=0或x=-

因此P的坐标为

.

将上式中的k换成-

,得Q

.

∴直线l的方程为y=

化简得直线l的方程为y=

x-

.

因此直线l过定点N

.

6.(2015·山东卷)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:

=1(a>b>0)的离心率为

,且点

在椭圆C上.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设椭圆E:

=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.

(ⅰ)求

的值;

(ⅱ)求△ABQ面积的最大值.

解 (1)由题意知

=1.又

解得a2=4,b2=1.

所以椭圆C的方程为

+y2=1.

(2)由(1)知椭圆E的方程为

=1.

(ⅰ)设P(x0,y0),

=λ,由题意知Q(-λx0,-λy0).

因为

+y

=1,

=1,即

=1,

所以λ=2,即

=2.

(ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2).

将y=kx+m代入椭圆E的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,

由Δ>0,可得m2<4+16k2,①

则有x1+x2=-

,x1x2=

.

所以|x1-x2|=

.

因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),

所以△OAB的面积

S=

|m||x1-x2|=

=2

.

=t,将y=kx+m代入椭圆C的方程,

可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,

由Δ≥0,可得m2≤1+4k2.②

由①②可知0<t≤1,

因此S=2

=2

,故S≤2

当且仅当t=1,

即m2=1+4k2时取得最大值2

.

由(ⅰ)知,△ABQ面积为3S,

所以△ABQ面积的最大值为6

.

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专题探究课五 高考中解析几何问题的热点题型 x2 1.(2015· 全国Ⅰ卷)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C:y= 4 与直线 l:y=kx+a(a>0) 交于 M,N 两点, (1)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (2)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由. 解 (1)由题设可得 M(2 a,a),N(-2 a,a), 或 M(-2 a,a),N(2 a,a). x x2 又 y′=2,故 y= 4 在 x=2 a处的导数值为 a,C 在点(2 a,a)处的切线方程为 y -a= a(x-2 a), 即 ax-y-a=0. x2 y= 4 在 x=-2 a处的导数值为- a,C 在点(-2 a,a)处的切线方程为 y-a =- a(x+2 a), 即 ax+y+a=0. 故所求切线方程为 ax-y-a=0 和 ax+y+a=0. (2)存在符合题意的点,证明如下: 设 P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线 PM,PN 的斜率分别为 k1,k2. 将 y=kx+a 代入 C 的方程得 x2-4kx-4a=0. 故 x1+x2=4k,x1x2=-4a. y1-b y2-b 从而 k1+k2= x + x 1 2 2kx1x2+(a-b)(x1+x2) k(a+b) = = . xx a 1 2 当 b=-a 时,有 k1+k2=0, 则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补, 故∠OPM=∠OPN,所以点 P(0,-a)符合题意. x2 y2 2.(2016· 北京卷)已知椭圆 C:a2+b2=1 过点 A(2,0),B(0,1)两点. (1)求椭圆 C 的方程及离心率; (2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N,求证:四边形 ABNM 的面积为定值. (1)解 由题意知 a=2,b=1. x2 2 所以椭圆方程为 4 +y =1,又 c= a2-b2= 3. c 3 所以椭圆离心率 e=a= 2 . (2)证明 2 设 P 点坐标为(x0,y0)(x0<0,y0<0),则 x2 0+4y0=4,由 B 点坐标(0, y0-1 1)得直线 PB 方程为:y-1= x (x-0), 0 令 y=0,得 xN= x0 x0 ,从而|AN|=2-xN=2+ , 1-y0 y0-1 y0 (x-2), x0-2 由 A 点坐标(2,0)得直线 PA 方程为 y-0= 令 x=0,得 yM= 2y0 , 2-x0 2y0 , x0-2 从而|BM|=1-yM=1+ 1 所以 S 四边形 ABNM=2|AN|·|BM| x0 ?? 2y0 ? 1? =2?2+y -1??1+x -2? ? 0 ?? 0 ? 2 x2 0+4y0+4x0y0-4x0-8y0+4 = 2(x0y0-x0-2y0+2) 2x0y0-2x0-4y0+4 = =2. x0y0-x0-2y0+2 即四边形 ABNM 的面积为定值 2. 3.已知中心在坐标原点, 焦点在 x 轴上的椭圆过点 P(2, 3), 1 且它的离心率 e=2. (1)求椭圆的标准方程; (2)与圆(x-1)2+y2=1 相切的直线 l:y=kx+t 交椭圆于 M,N 两点,若椭圆上一 → +ON → =λOC → ,求实数 λ 的取值范围. 点 C 满足OM x2 y2 解 (1)设椭圆的标准方程为a2


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