通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理数

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2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)

理科数学

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.若2log 0a <,1()12

b

>,则【 】

A .1a >,0b >

B .1a >,0b < C. 01a <<, 0b > D. 01a <<, 0b <

2.对于非零向量,,a b “0a b +=

”是“//a b ”的【 】

A .充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C .充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.将函数sin y x =的图象向左..平移(02)??π≤<个单位后,得到函数sin()6

y x π

=-的

图象,则?等于【 】

A .

6

π B .56π C. 76π D.116π

4.如图1,当参数12,λλλ=时,连续函数(0)1x

y x x

λ=≥+ 的

图像分别对应曲线1C 和2C , 则【 】

A .120λλ<<

B .21

0λλ<<

C .120λλ<<

D .210λλ<<

5.从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为【 】

A . 85

B . 56

C .49

D .28

6.已知D 是由不等式组20,30

y -≥??+≥?所确定的平面区域,则圆224x y +=在区域D 内的弧

长为【 】

A .

4π B .2

π C .34π D .32π

图1

c 2c 1

o

y

x

C 1

D 1

B 1

A 1

D C B

A

7.正方体1111ABCD A BC D -的棱上到异面直线AB ,CC 1的距离相等的点的个数为【 】

A .2

B .3

C . 4

D .5

8.设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义.对于给定的正数K ,定义函

数(),(),(),().

K f x f x K f x K f x K ≤?=?>?取函数()f x =2x x e ---。若对任意的

(,)x ∈-∞+∞,恒有()K f x =()f x ,则【 】

A .K 的最大值为2

B .K 的最小值为2

C .K 的最大值为1

D .K 的最小值为1

二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分,把答案填在答题卡...中对应题号后的横线上

9.某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱兵乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ _ _.

10.在3333(1)(1)(1)x x x +++++的展开式中,x 的系数为___(用数字作答). 11.若(0,

)2x π

∈,则2tan tan()2

x x π

+-的最小值为 .

12.已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中有一个内角为60

,则

双曲线C 的离心率为

13.一个总体分为A ,B 两层,其个体数之比为4:1,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为

1

28

,则总体中的个体数为 。 14.在半径为13的球面上有A , B, C 三点,AB=6,BC=8,CA=10,则

(1)球心到平面ABC 的距离为 ;

(2)过A,B 两点的大圆面与平面ABC 所成二面角(锐角)的正切值为 . 15.将正ABC ?分割成2

*

(2,)n n n N ≥∈个全等的小正三角形(图2,图3分别给出了n=2,3的情形),在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于⊿ABC 的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列.若顶点A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为()f n ,则有(2)2f =,(3)f = ,… ,()f n = .

B

A

C A

B

C

图3

图2

三.解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分12分)

在ABC ?中,已知2

233AB AC AB AC BC ?=?= ,求角A ,B ,C 的大小

17.(本小题满分12分)

为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的12,13,1

6

.现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。

(I )求他们选择的项目所属类别互不相同的概率;

(II )记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数,求ξ的分布列及数学期望。 18.(本小题满分12分)

如图4,在正三棱柱111ABC A B C -中,12AB AA =,

点D 是11A B 的中点,点E 在11AC 上,且

DE AE ⊥ (I )证明:平面ADE ⊥平面11ACC A ; (II )求直线AD 和平面ABC 所成角的正弦值。

19.(本小题满分13分)

某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m 米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x x +万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其它因素.记余下工程的费用为y 万元。

A

B

C

D

A 1

B 1

C 1

E

(Ⅰ)试写出y 关于x 的函数关系式;

(Ⅱ)当m =640米时,需新建多少个桥墩才能使y 最小?

20.(本小题满分13分)

在平面直角坐标系xOy 中,点P 到点F (3,0)的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d. 当点P 运动时,d 恒等于点P 的横坐标与18之和 (Ⅰ)求点P 的轨迹C ;

(Ⅱ)设过点F 的直线l 与轨迹C 相交于M ,N 两点,求线段MN 长度的最大值。

21.(本小题满分13分)

对于数列{}n u ,若存在常数M >0,对任意的*

n N ∈,恒有

? n n n u u u u u u M +--+-++-≤ ,

则称数列{}n u 为B -数列.

(Ⅰ)首项为1,公比为(1)q q <的等比数列是否为B-数列?请说明理由;

请以其中一组的一个论断条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题 判断所给命题的真假,并证明你的结论;

(Ⅱ)设n S 是数列{}n x 的前n 项和,给出下列两组论断;

A 组:①数列{}n x 是B-数列, ②数列{}n x 不是B-数列;

B 组:③数列{}n S 是B-数列, ④数列{}n S 不是B-数列. 请以其中一组中的一个论断为条件,另一组中的一个论断为结论 组成一个命题。判断所给命题的真假,并证明你的结论; (Ⅲ)若数列{}{},n n a b 都是B -数列,证明:数列{}n n a b 也是B -数列。

参考答案

一.选择题

1—5 D A D B C 6—8 B C D 二.填空题

9. 12 10. 7 11. 22 12. 6

2

13. 40 14. (1) 12 (2) 3 15.(1)103(2)1

(1)(2)6

n n ++ 三.解答题

16. 解: 设,,BC a AC b AB c ===

由23AB AC AB AC ?=? 得2cos 3bc A bc =,所以3

cos 2

A =.

又(0,),A π∈因此6

A π

=

由233AB AC BC ?= 得2

3bc a =,于是23sin sin 3sin 4

C B A ?==.

所以53

sin sin(

)64

C C π?-=

,133sin (cos sin )224C C C ?+=, 因此22sin cos 23sin 3,sin 23cos20C C C C C ?+=-=,既s i n (2)03

C π

-=.

由6A π

=

知506C π<<

,所以42333C πππ

-<-<,

从而20,3C π-=或2,3C ππ-=,既,6C π=或2,3C π

=

故2,,,636A B C πππ===或2,,663

A B C πππ

===。

17. 解: 记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件

,,,i i i A B C i=1,2,3.由题意知123,,A A A 相互独立,123,,B B B 相互独立,123,,C C C 相

互独立,,,i j k A B C (i ,j ,k=1,2,3,且i ,j ,k 互不相同)相互独立,且

111

(),(),().236

i i i P A P B P C ===

(Ⅰ)他们选择的项目所属类别互不相同的概率

P=1233!()P A B C 1236()()()P A

P B P C =1111

6.2366

=???= (Ⅱ)解法1:设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η,

由已知, η B (3,

1

3

),且ξ=3-η。 所以P (ξ=0)=P (η=3)=33

31()3C =127

,

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2009 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 理科数学 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.若 log2 a ? 0 , ( ) ? 1 ,则【 】 b 1 2 A. a ? 1 , b ? 0 C. 0 ? a ? 1 , b ? 0 B. a ? 1 , b ? 0 D. 0 ? a ? 1 , b ? 0 2.对于非零向量 a, b, “ a ? b ? 0 ”是“ a / / b ”的【 】 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ? ? ? ? ? ? ? 3.将函数 y ? sin x 的图象向左 平移 ? (0 ? ? ? 2? ) 个单位后,得到函数 y ? sin( x ? .. 图象,则 ? 等于【 】 A. ? 6 )的 ? 6 B. 5? 6 C. 7? 6 D. 11? 6 4. 如图 1, 当参数 ? ? ?1 , ?2 时, 连续函数 y ? 图像分别对应曲线 C1 和 C2 , 则【 A . 0 ? ?1 ? ?2 C . ?1 ? ?2 ? 0 】 x ( x ? 0) 的 1? ? x y c2 c1 B . 0 ? ?2 ? ?1 D . ?2 ? ?1 ? 0 o 图1 x 5.从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理,则甲、乙至 少有 1 人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为【 A. 85 B. 56 】 D .28 C .49 6.已知 D 是由不等式组 ? 长为【 】 A. ? x ? 2 y ? 0, 2 2 所确定的平面区域,则圆 x ? y ? 4 在区域 D 内的弧 ?x ? 3y ? 0 ? 4 B. ? 2 C. 3? 4 D. 3? 2 7.正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱上到异面直线 AB,CC1 的距离相等的点的个数为【 】 A.2 B.3 C. 4 D.5 A1 D D1 B1 C C1 8.设函数 y ? f ( x) 在 (??, ??) 内有定义.对于给定的正数 K,定义函 ? f ( x), f ( x) ? K , ?x 数 f K ( x) ? ? 取函数 f ( x) ? 2 ? x ? e 。若对任意的 ? K , f ( x) ? K . x ? ( ??, ??) ,恒有 f K ( x) ? f ( x) ,则【 】 A.K 的最大值为 2 C.K 的最大值为 1 B.K 的最小值为 2 D.K 的最小值为 1 A B 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卡 中对应题号后的 ... 横线上 9.某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱兵乓球运动,8 人对这两项运动都不 喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ _ _. 10.在 (1 ? x)3 ? (1 ? x )3 ? (1 ? 3 x )3 的展开式中, x 的系数为___(用数字作答). 11.若 x ? (0, ? ) ,则 2 tan x ? tan( ? x) 的最小值为 2 2 ? . ? 12.已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中有一个内角为 60 ,则 双曲线 C 的离心率为 13.一个总体分为 A,B 两层,其个体数之比为 4:1,用


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