湛江一中第四届迎新杯数学竞赛

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湛江一中第四届“迎新杯”数学竞赛

高 一 试 题

满 分:150分 时间:2018.1.7 下午 15:00---17:00

数学是科学的皇后-----高斯 祝同学们在新的一年数学科取得优异成绩!

一、选择题:本大题共 10小题,每小题 5 分,共 50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 把答案填在答题卷上.

1. 已知是全集,的两个子集,若,则下列选项中正确的是

A. B.

C. D.

2. 已知实数满足,则下列关系式恒成立的是

A. B. C. D.

3. 已知函数)的最小值为2,则实数

A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

4. 函数的部分图象大致是

A. B.

C. D.

5. 某班学生进行了三次数学测试,第一次有8名学生得满分,第二次有10名学生得满分,第三次有12名学生得满分,已知前两次均为满分的学生有5名,三次测试中至少有一次得满分的学生有15名.若后两次均为满分的学生至多有名,则的值为

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

6. 已知函数是奇函数,则

A.上单调递减 B.上单调递减

C.上单调递增 D.上单调递增

7. 在中,,的内心,若,则

A. B. C. D.

8. 设

是定义在

上的函数,它的图象关于点

对称,当

时,

为自然对数的底数),则

的值为

A.

B.

C.

D.

9. 函数.若该函数的两个零点为,则

A. B. C. D. 无法判定

10. 如图,点在以为直径的圆上,其中,过向点处的切线作垂线,垂足为,则的最大值是

A. B. C. D.

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷相应的横线上.

11.为锐角,若,则___________.

12. 设,则___________________.

13. 已知函数,若,则的取值范围__________.

14. 已知,函数在区间上的最小值为,则的取值范围是 ______________.

15. 已知是边长为4的等边三角形,为平面内一点,则的最小值为__________________.

16.已知函数)满足,函数,若曲线图象的交点分别为,…,,则__________.

三、解答题:本大题共4 题,共 70 分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.把答题过程写在答题卷上.

17.(本题满分15分)

,请你用两种方法证明公式:

18.(本题满分15分)

已知关于的方程内有两个不同的解

(I)求实数m的取值范围;

(II)用表示的值.

19.(本题满分20分)

求实数的取值范围,使不等式,对恒成立.

20. (本题满分20分)

已知,

为集合中所有元素之和.

(I)求的值;

(II)求(用表示).

(参考公式:

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湛江一中第四届“迎新杯”数学竞赛

高 一 试 题

满 分:150 分

数学是科学的皇后-----高斯

时间:2018.1.7 下午 15:00---17:00

祝同学们在新的一年数学科取得优异成绩!

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的. 把答案填在答题卷上. 1. 已知 U 是全集, M 、 N 是 U 的两个子集,若 M ? N ? U , M ? N ? ? ,则下 列选项中正确的是 A. CU M ? N C. B. CU N ? M D. ?CU M ? ? ?CU N ? ? U

?CU M ? ? ?CU N ? ? ?

2. 已知实数 x, y 满足 a x ? a y ? a ? 1? ,则下列关系式恒成立的是 A.

1 1 ? x ?1 y ?1

B. sinx ? siny

C. lg x 2 ? 1 ? lg y 2 ? 1

?

?

?

?

D.

3

x?3 y

x 3. 已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ? a ( a ? 0 )的最小值为 2,则实数 a ?

A. 2 4. 函数 f ? x ? ?

B. 4

C. 8

D. 16

e x ? e? x 的部分图象大致是 x2 ? x ? 2

A.

B.

第四届迎新杯高一试题 1 / 4

C.

D.

5. 某班学生进行了三次数学测试,第一次有 8 名学生得满分,第二次有 10 名学生得满 分,第三次有 12 名学生得满分,已知前两次均为满分的学生有 5 名,三次测试中至少 有一次得满分的学生有 15 名.若后两次均为满分的学生至多有 n 名,则 n 的值为 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

6. 已知函数 f ? x ? ? cos ? x ? ? ? ? 0 ? ? ? A. f ? x ? 在 ? C. f ? x ? 在 ?

? ?

??

?? ? ? , f ? x ? ? 是奇函数,则 2? 4? ?

? ? ? ?

?? ? , ? ? 上单调递减 ?4 ?

B. f ? x ? 在 ? 0, D. f ? x ? 在 ? 0,

?? ??

? 上单调递减 4? ? 上单调递增 4?

?? ? , ? ? 上单调递增 ?4 ?

7. 在 ?ABC 中, AB ? AC ? 5, BC ? 6 , I 是 ?ABC 的内心,若 BI ? mBA ? nBC

? m, n ? R ? ,则 n

A.

m

?

B.

4 3

6 5

C. 2 对称, 当 D.

D.

1 2

8. 设 是定义在 上的函数, 它的图象关于点 为自然对数的底数),则 的值为 A. B.

x

时,

C.

?1? 9. 函数 f ? x ? ? log a x ? ? ? , a ? 0, a ? 1 .若该函数的两个零点为 x1 , x2 ,则 ?2?

A. x1 x2 ? 1 B. x1 x2 ? 1 C. x1 x2 ? 1 D. 无法判定

10. 如图,点 C 在以 AB 为直径的圆上,其中 AB ? 2 ,过 A 向点 C 处的切线作垂线, 垂足为 P ,则 AC ? PB 的最大值是

第四届迎新杯高一试题 2 / 4

A. 2

B. 1

C. 0

D. ?1

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卷相应的横线

上. 11. ? 为锐角,若 cos(? ?

?

6

)?

4 2? ? 2? ) ? ___________. ,则 sin( 5 3

2 2 12. 设 x 1 ? y ? y 1 ? x ? 1,则 x2 ? y 2 ? ___________________.

13. 已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x ?

? ?

1 2x

? ? ,若 f ? x ?1? ? f ? x ? ,则 x 的取值范围__________. ?

14. 已知 ? ? 0 ,函数 f ? x ? ? 2sin? x 在区间 ? ? 围是 ______________.

? ? ?? 则 ? 的取值范 , ? 上的最小值为 ?2 , ? 3 4?

15. 已知 ?ABC 是边长为 4 的等边三角形, P 为平面 ABC 内一点,则 PA ? PB ? PC 的最小值为__________________. 16.已知函数 f ? x ? ( x ? R )满足 f ? ?x ? ? 4 ? f ? x ? ,函数 g ? x ? ? 曲线 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 图象的交点分别为 ? x1 , y1 ? ,

?

?

? x2018 , y2018 ? ,则 ? x1 ? y1 ? ? (x2 ? y2 ) ? ... ? ( x2018 ? y2018 ) ? __________.

? x2 , y2 ? , ? x3 , y3 ? ,…,

x?2 x ? ,若 x ?1 x ?1

三、解答题:本大题共 4 题,共 70 分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤.把答题过程写在答题卷上. 17.(本题满分 15 分) 设0 ? ? ?? ?

?

2

,请你用两种 方法证明公式: cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? . ..

第四届迎新杯高一试题 3 / 4

18.(本题满分 15 分) 已知关于 x 的方程 2sin x ? cos x ? m 在 [0, 2? ) 内有两个不同的解 ? , ? . (I)求实数 m 的取值范围; (II)用 m 表示 cos(? ? ? ) 的值.

19.(本题满分 20 分) 求实数 a 的取值范围,使不等式

? ? 2 2 sin 2? ? (2 2 ? a 2) sin(? ? ) ? ? ?3 ? 2a ,对 ? ? [0, ] 恒成立. 2 4 cos(? ? ? ) 4

20. (本题满分 20 分) 已知 n ? N*, n ? 2, k1, k2 , k3 , ???, kn ???1,1?, A ? x ? 0 | x ? k1 ? 2 ? k2 ? 22 ? ??? ? kn ? 2n 记 A ? n ? 为集合 A 中所有元素之和. (I)求 A ? 3? 的值; (II)求 A ? n ? (用 n 表示). (参考公式: q ? q 2 ? q3 ? ... ? q n ?

?

?,

q(1 ? q n ) (q ? 1) ) 1? q

第四届迎新杯高一试题 4 / 4


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