黑龙江省各地市高考数学 最新联考试题分类汇编(3)函数与导数

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黑龙江省各地市 高考数学最新联考试题分类汇编(3)函数与导数

一、选择题:

12.(东北三省三校 3月高三第一次联合模拟理)已知处取最大值,以下各式正确的序号为 ( )

A. B. C. D.

解析:处取最大值,,即:

,则增函数,

故选B

3.(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟理)下列函数中在区间上为增函数,且其图像为轴对称图形的是( )

(A)(B)(C)(D)

【答案】C

12.(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟理)已知是函数的零点,则

;②;③;④

其中正确的命题是( )

(A)①④ (B)②④ (C)①③ (D)②③

【答案】A

5.(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟文)曲线处的切线方程为( )

(A) (B)

(C) (D)

【答案】D

9.(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟文)已知函数,则下列结论正确的是( )

(A)有最大值 (B)有最小值

(C)有唯一零点 (D)有极大值和极小值

【答案】C

11.(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟文)已知函数,当时,,则实数的取值范围是( )

(A) (B) (C) (D)

【答案】B

(4)(黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟文)已知是函数的零点,若,则的值满足

(A) (B)

(C) (D)均有可能

答案】B

(11)(黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟文)函数的图象可能是下列图象中的

(A) (B) (C) (D)

【答案】D

(12)(黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟文)已知定义在上的函数满足,且,则方程在区间上的所有实数根之和为

(A) (B) (C) (D)

【答案】C

8.(黑龙江省哈师大附中2013届第三次高考模拟理)已知函数的图象如图所示,则函数的图象应是

【答案】B

12.(黑龙江省哈师大附中2013届第三次高考模拟理)已知函数。当n ≥ 2时,,则方程的实数解的个数为

A.22013

B.42013

C.2

D.4

【答案】B

11. (黑龙江省教研联合体2013届高三第二次模拟理)函数的所有零点之和为

A. B. C. D.

【答案】C

12.(东北三校2013届高三第二次联合模拟文)当时,函数的图像大致是

【答案】B

二、填空题:

15.(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟理)设函数是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域,则上的最大值为______________

【答案】2

14.(黑龙江省哈师大附中2013届第三次高考模拟理)求值__________

【答案】1

16.(东北三校2013届高三第二次联合模拟文)已知实数,函数,则,则a的值为_________。

【答案】

三、解答题:

21.(东北三省三校 3月高三第一次联合模拟理)(本小题满分12分)

已知函数,且处的切线斜率为

(1)求a的值,并讨论上的单调性;

(2)设函数,其中m > 0,若对任意的总存在,使得成立,求m的取值范围

解析:(Ⅰ) ……2分

……4分

上单调递增;上单调递减;……6分

(Ⅱ)当时,单调递增,

则依题上恒成立

……8分

①当时,上恒成立,即上单调递增,又,所以上恒成立,即时成立 ……10分

②当时,当时,,此时单调递减,,故时不成立,综上 ……12分

(21)(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟理)(本小题满分12分)

已知函数

(1)当时,讨论函数的单调性;

(2)是否存在实数,对任意的,且,有恒成立,若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.

21.解:(1)

①当时,,由

②当时,由,由

③当时,恒成立;

④当时,由,由;.....5分

综上,当时,单调递减;在上单调递增;

时,上单调递增;在上单调递减;

时,上单调递增;

时,上单调递增;在上单调递减......6分

(2)∵,∴

......8分

要使,只要上为增函数,即上恒成立,

因此,即

故存在实数,对任意的,且,有恒成立 ......12分

(21)(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟文)(本小题满分12分)

已知函数

(Ⅰ)当时,讨论函数的单调性;

(Ⅱ)是否存在实数,对任意的,且,有恒成立,若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.

(2)∵,∴

要使,只要上为增函数,即上恒成立,因此,即

故存在实数,对任意的,且,有恒成立

(21)(黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟文)(本小题满分12分)

已知函数.

)当时,求的单调区间和极值;

)若存在,且,使,证明:.

(21)(本小题满分12分)

解:()当时,

,………………………………2分

,则;令,则

的单调递增区间,的单调减区间. …………………5分

时,取极大值为. ………………………………………………6分

)解法1:

不妨设

由已知,得

. ……………………………………………………8分

. …………………………………………9分

. ………………………………………………10分

,∴上是减函数,∴

,又∵

. ………………………………………………12分

解法2:

不妨设

由已知,得

. ……………………………………………………8分

. ……………………………………9分

. ………………………………………10分

,∴单调递增,∴

,∴. ………………………………………12分

21.(黑龙江省哈师大附中2013届第三次高考模拟理)(本小题满分12分)

已知函数

(1)若在x = 2处取得极小值,求a的值;

(2)若上恒成立,求a的取值范围;

(3)求证:当n ≥ 2时,

21. 解:(Ⅰ)∵的定义域为

处取得极小值,∴,即

此时,经验证的极小值点,故

(Ⅱ)∵

①当时,,∴上单调递减,

∴当时,矛盾.

②当时,

,得,得

(ⅰ)当,即时,

时,,即递减,∴矛盾.

(ⅱ)当,即时,

时,,即递增,∴满足题意.

综上,

(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知令,当时,(当且仅当时取“”)

时,

即当

21.(东北三校2013届高三第二次联合模拟文)(本小题满分12分)

已知函数

(1)若对任意的实数a,函数的图象在x = x0处的切线斜率总想等,求x0的值;

(2)若a > 0,对任意x > 0不等式恒成立,求实数a的取值范围。

21. (本小题满分12分)

解:(Ⅰ)

由题设知,且,即, ……2分

因为上式对任意实数恒成立,…4分

故,所求 ……5分

(Ⅱ)

方法一:在恒成立,则在处必成立,即

是不等式恒成立的必要条件. ……7分

另一方面,当时,记则在上,

……9分

单调递减;单调递增

,即恒成立

是不等式恒成立的充分条件. ……11分

综上,实数的取值范围是 ……12分

方法二:记则在上,

……7分

1\t若时,单调递增,

这与矛盾; ……8分

2\t若递增,而

这与矛盾;……9分

③若单调递减;单调递增

,即恒成立 ……11分

综上,实数的取值范围是 ……12分

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黑龙江省各地市 高考数学最新联考试题分类汇编(3)函数与导数

一、选择题: 12.(东北三省三校 3 月高三第一次联合模拟理)已知 f ( x) ? 取最大值,以下各式正确的序号为 ( )

ln x ? ln x, f ( x) 在 x ? x0 处 1? x

① f ( x0 ) ? x0 ② f ( x0 ) ? x0 ③ f ( x0 ) ? x0 ④ f ( x0 ) ? A. ①④

'

1 1 ⑤ f ( x0 ) ? 2 2

B. ②④

C. ②⑤

D. ③⑤

解 析 : f ( x) ?

?1 ? x ? ln x , (1 ? x)2

f ( x) 在 x ? x0 处 取 最 大 值 , ? f '( x0 ) ? 0 , 即 :

ln x0 ? ?1 ? x0 ,? f ( x0 ) ? x0

设 g ( x) ? ln x ? 1 ? x ,则 g ( x) ? ln x ? 1 ? x 为 (0, ??) 增函数,

1 1 1 1 1 1 ) ? ?2 ? 1 ? 2 ? ?1 ? 2 ? 0, g ( ) ? ?1 ? 1 ? ? ? 0 2 e e e e e e 1 1 ? x0 ? ( 2, ) e e 1 ? x0 ? 2 1 ? f ( x0 ) ? 2

而 g( 故选 B 3.(黑龙江省哈六中 2013 届高三第二次模拟理)下列函数中在区间 (1,?? ) 上为增函数,且 其图像为轴对称图形的是( )

(A) y ? ? x 2 ? 2x ? 1 (B) y ? cos x (C) y ? lg | x ? 1 | (D) y ? x 3 ? 3x 2 ? 3x 【答案】C 12 . ( 黑 龙 江 省 哈 六 中 2013 届 高 三 第 二 次 模 拟 理 ) 已 知 x0 是 函 数

f ( x) ? 2 sin x ? ? ln x( x ? (0, ? )) 的零点 , x1 ? x 2 ,则

① x 0 ? (1, e) ;② x0 ? (e, ? ) ;③ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ;④ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 其中正确的命题是( ) (A)①④ (B)② ④ 【答案】A

( C)①③

(D)②③

1

5.(黑龙江省哈六中 2013 届高三第二次模拟文)曲线 y ? sin x ? e x ? 2 在 x ? 0 处的切线方程 为( ) (A) y ? x ? 3 (C) y ? 2 x ? 1 【答案】D 9 . ( 黑 龙 江 省 哈 六 中 2013 届 高 三 第 二 次 模 拟 文 ) 已 知 函 数 ) (B) y ? x ? 2 (D) y ? 2 x ? 3

?x ? ?2 ,( x ? 0) (a ? R) ,则下列结论正确的是( f ( x) ? ? 2 ? ?? x ? 2ax ? 1,( x ? 0)

(A) ?a ? R, f ( x) 有最大值 f (a) (C) ?a ? R, f ( x) 有唯一零点 【答案】C

(B) ?a ? R, f ( x) 有最小值 f (0) (D) ?a ? R, f ( x) 有极大值和极小值

1 11 . ( 黑龙江省哈六中 2013 届高三第二次模拟文 ) 已知函数 f ( x) ? loga [( ? 2)x ? 1],当 a

x ? [1, 3]时, f ( x) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是(

1 (A) ( ,1) 2

【答案】B

1 3 (B) ( , ) 2 5

(C) (1, ??)

3 (D) (0, ) 5

(4)(黑龙江 省大庆市 2013 届高三第二次模拟文)已知 x0 是函数 f ( x) ? 3 ? log1 x 的零

x 2

点,若 0 ? x1 ? x0 ,则 f ( x1 ) 的值满足 (A) f ( x1 ) ? 0 (C) f ( x1 ) ? 0 【 答案】B (B) f ( x1 ) ? 0 (D) f ( x1 ) ? 0 与 f ( x1 ) ? 0 均有可能

(11)(黑龙江省大庆市 2013 届高三第二次模拟文)函数 y ? 图象可能是下列图象中的

x , x ? (?? ,0) ? (0, ? ) 的 sin x

2

(A) 【答案】D

(B)

(C)

(D)

( 12 ) ( 黑龙江省大庆市 2013 届高三第二次模拟文 ) 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足

? x 2+3, (x ? [0,1)) 3x ? 7 ? , 且 f ( x ? 2) ? f ( x) , g ( x ) ? ,则方程 f ( x) ? ? 2 x?2 -1, 0)) ? ?3-x , (x ? [

g ( x) ? f ( x) 在区间 [?8,3] 上的所有实数根之和为

(A) 0 【答案】C (B) ? 10 (C) ? 11 (D) ? 12

8.(黑龙江省哈师大附中 2013 届第三次高考模拟理)已知函数 y ? f ( x) 的图象如图所示, 则函数 y ? ? f (| x |) 的图象应是

【答案】B 12.(黑龙江省哈师大附中 2013 届第三次高考模拟 理)已知函数 f ( x) ? f1 ( x) ?| cos 2? x | ,

x ? [0,1] 。当 n ≥ 2 时, fn ( x) ? f ( fn?1( x)) ,则方程 f 2013 ( x) ?

A.2

2013

x 的实数解的个数为 2013

D.4

B.4

2013

C.2

【答案】B 11. ( 黑 龙 江 省 教 研 联 合 体 2013 届 高 三 第 二 次 模 拟 理 ) 函 数

1 f ( x) ? ( )| x ?1| ? 2 cos? x (? 2 ? x ? 4)的所有零点之和为 2 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

【答案】C

2 x 12.(东北三校 2013 届高三第二次联合模拟文)当 a ? 0 时,函数 f ( x) ? ( x ? 2ax)e 的图

像大致是

3

【答案】B 二、填空题: 15.(黑龙江省哈六中 2013 届高三第二次模拟理)设函数 f ( x) ? ?

?ln x, x ? 0 ,D 是由 x ??2 x ? 1, x ? 0

轴和曲线 y ? f ( x) 及该曲线在点 ?1,0 ? 处的切线所围成的封闭区域, 则 z ? x ? 2 y 在 D 上的 最大值为______________ 【答案】2 14.(黑龙江省哈师大附中 2013 届第三次高考模拟理)求值 【答案】1

x ? ?4 , x ? 0 a ? 1 f ( x ) ? 16.(东北三校 2013 届高三第二次联合模拟文)已知实数 ,函数 , ? a? x ? ?2 , x ? 0.

?

?

2 0

cos xdx ? __________

则 f (1 ? a) ? f (a ? 1) ,则 a 的值为_________。 【答案】

1 2

三、解答题: 21.(东北三省三校 3 月高三第一次联合模拟理)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax sin x ? cos x ,且 f ( x ) 在 x ?

?

4

处的切线斜率为

2? 。 8

(1)求 a 的值,并讨论 f ( x ) 在 [ ?? , ? ] 上的单调性; (2)设函数 g ( x) ? ln(mx ? 1) ? 存在 x2 ? [0,

?

2

1? x , x ? 0 ,其中 m > 0,若对任意的 x1 ?[0, ??) 总 1? x

] ,使得 g ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,求 m 的取值范围

……2 分

解析: (Ⅰ) f ?( x) ? a sin x ? ax cos x ? sin x ? (a ? 1)sin x ? ax cos x

4

? 2 ? 2 2? f ?( ) ? (a ? 1) ? ? ?a? ? 4 2 4 2 8

?a ?1

……4 分

? f ?( x) ? x cos x

? f ?( x) ? 0 ? ?? ? x ? ? ? f ?( x) ? 0 ? ?

则 f ( x ) 在 (?? , ? (Ⅱ)当 x ? [0,

?

2

, 或0 ? x ?

?

2

?

2

? x ? 0, 或

?

2

? x ??

?

?

), (0, ) 上单调递增; f ( x) 在 (? , 0), ( , ? ) 上单调递减;……6 分 2 2 2 2 ] 时, f ( x) 单调递增,? f ( x)min ? f (0) ? 1

?

?

?

2

则依题 g ( x) ? 1 在 x ? [0, ??) 上恒成立

m?2 ) m g ?( x) ? , ( x ? 0, m ? 0) (mx ? 1)( x ? 1) 2 m( x 2 ?

①当 m ? 2 时,

……8 分

m?2 ? 0 ,? g ?( x) ? 0 在 [0, ??) 上恒成立,即 g ( x) 在 [0, ??) 上单调 m

? 1 递 增 , 又 g( 0 ) , 所 以 g ( x )? 1 在 x ? [0, ??) 上 恒 成 立 , 即 m ? 2 时 成

立 ② 当 0 ? m ? 2 时 , 当 x?( 0 , ……10 分

2?m 时 , g ?( x )? 0, 此 时 g ( x) 单 调 递 减 , ) m

……12 分

? g ( x) ? g (0) ? 1 ,故 0 ? m ? 2 时不成立,综上 m ? 2

(21)(黑龙江省哈六中 2013 届 高三第二次模拟理)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? 2a ln x ? (a ? 2) x, a ? R 2

(1)当 a ? 0 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性; (2) 是否存在实数 a , 对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) , 且 x 2 ? x1 , 有 若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由.

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a 恒成立, x2 ? x1

5

21.解: (1) f ?( x) ? x ?

2a x 2 ? (a ? 2) x ? 2a ( x ? 2)( x ? a) ? (a ? 2) ? ? ( x ? 0) x x x

①当 a ? 0 时, f ?( x) ? x ? 2 ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 2 , f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 2 ②当 ? 2 ? a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? ? a 或 x ? 2 ,由 f ?( x) ? 0 得 ? a ? x ? 2 ; ③当 a ? ?2 时, f ?( x) ? 0 恒成立; ④当 a ? ?2 时,由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 2 或 x ? ?a ,由 f ?( x) ? 0 得 2 ? x ? ? a ;.....5 分 综上,当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0,2) 单调递减;在 (2,?? ) 上单调递增; 当 ? 2 ? a ? 0 时, f ( x) 在 (0,?a) 和 (2,??) 上单调递增;在 (?a,2) 上单调递减; 当 a ? ?2 时, f ( x) 在 (0,??) 上单调递增; 当 a ? ?2 时, f ( x) 在 (0,2) 和 (?a,??) 上单调递增;在 (2,?a) 上单调递减......6 分 (2)∵ x 2 ? x1 ,∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a( x2 ? x1 ) , f ( x2 ) ? ax2 ? f ( x1 ) ? ax1 令 g ( x) ? f ( x) ? ax ?

1 2 x ? 2a ln x ? 2 x 2

......8 分

g ?( x) ? x ?

2a x 2 ? 2 x ? 2a ( x ? 1) 2 ? 1 ? 2a ?2? ? x x x

要使 g ( x2 ) ? g ( x1 ) ,只要 g ( x) 在 (0,??) 上为增函数,即 g ?( x) ? 0 在 (0,??) 上恒成立, 因此 ? 1 ? 2a ? 0 ,即 a ? ?

1 2

故存在实数 a ? (?? ,? ] ,对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x 2 ? x1 ,有 成立

1 2

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a恒 x2 ? x1

......12 分

(21)(黑龙江省哈六中 2013 届高三第二次模拟文)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? 2a ln x ? (a ? 2) x, a ? R 2

(Ⅰ)当 a ? 0 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性;

6

(Ⅱ)是否存在实数 a ,对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 ,有 成立,若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由.

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a恒 x2 ? x1

(2)∵ x 2 ? x1 ,∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a( x2 ? x1 ) , f ( x2 ) ? ax2 ? f ( x1 ) ? ax1 令 g ( x) ? f ( x) ? ax ?

1 2 x ? 2a ln x ? 2 x 2

g ?( x) ? x ?

2a x 2 ? 2 x ? 2a ( x ? 1) 2 ? 1 ? 2a ?2? ? x x x

要使 g ( x2 ) ? g ( x1 ) , 只要 g ( x) 在 (0,??) 上为增函数, 即 g ?( x) ? 0 在 (0,??) 上恒成 立,因此 ? 1 ? 2a ? 0 ,即 a ? ?

1 2

故存在实数 a ? (?? ,? ] , 对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) , 且 x 2 ? x1 , 有 恒成立

1 2

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?a x2 ? x1

(21)(黑龙江省大庆市 2013 届高三第二次模拟文)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? x(a ? 0) . 2

(I)当 a ? 2 时,求 y ? f ( x) 的单调区间和极值; (II) 若存在 x1 , x2 ? (0, ??) , 且 x1 ? x2 , 使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 证明: f ?(

x1 ? x 2 ) ? 0. 2

7

(21) (本小题满分 12 分) 解: (I)当 a ? 2 时, f ( x) ? ln x ? x2 ? x( x ? 0) , ∴ f ?( x) ?

1 2 x2 ? x ?1 ( x ? 1)(2 x ? 1) ? 2x ?1 ? ? ?? ,………………………………2 分 x x x

1 1 ;令 f ?( x) ? 0 ,则 x ? , 2 2 1 1 ∴ (0, ) 是 f ( x) 的单调递增区间, ( ,?? ) 是 f ( x) 的单调减区间. …………………5 分 2 2 1 3 当 x ? 时, f ( x) 取极大值为 ? ? ln 2 . ………………………………………………6 分 2 4

令 f ?( x) ? 0 ,则 0 ? x ? (II)解法 1: 不妨设 x2 ? x1 ? 0 , 由已知,得 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? (ln x 2 ?

1 2 1 ax 2 ? x 2 ) ? (ln x1 ? ax12 ? x1 ) 2 2

1 2 ? ln x 2 ? ln x1 ? [ a( x 2 ? x12 ) ? ( x 2 ? x1 )] , 2 1 ? ln x 2 ? ln x1 ? [ a( x 2 ? x1 ) ? 1]( x 2 ? x1 ) ? 0 2

ln x2 ? ln x1 1 ? a( x2 ? x1 ) ? 1. ……………………………………………………8 分 x2 ? x1 2

1 ? ax ? 1 , x

∵ f ?( x) ? ∴ f ?(

x1 ? x2 ln x2 ? ln x1 2 a 2 )? ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? ? 2 x1 ? x2 2 x1 ? x2 x2 ? x1

x2 ? 1) x1 x 1 ? [ ? ln 2 ] . …………………………………………9 分 x x 2 ? x1 x1 1? 2 x1 2(

设t ?

x2 2(t ? 1) ? ln t (t ? 1) . ………………………………………………10 分 , g (t ) ? 1? t x1

(t ? 1) 2 ? 0 ,∴ g (t ) 在 (1, ??) 上是减函数,∴ g (t ) ? g (1) ? 0 , t (t ? 1) 2

∵ g ?(t ) ? ?

8

x2 ? 1) x1 x 1 ? ln 2 ? 0 ,又∵ 即 ? 0, x x1 x2 ? x1 1? 2 x1 2(

∴ f ?(

x1 ? x 2 ) ? 0. 2

………………………………………………12 分

解法 2: 不妨设 x2 ? x1 ? 0 , 由已知,得 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? (ln x 2 ?

1 2 1 ax 2 ? x 2 ) ? (ln x1 ? ax12 ? x1 ) 2 2

1 2 ? ln x 2 ? ln x1 ? [ a( x 2 ? x12 ) ? ( x 2 ? x1 )] , 2 1 ? ln x 2 ? ln x1 ? [ a( x 2 ? x1 ) ? 1]( x 2 ? x1 ) ? 0 2

ln x2 ? ln x1 1 ? a( x2 ? x1 ) ? 1. x2 ? x1 2

1 ? ax ? 1 , x

……………………………………………………8 分

∵ f ?( x) ? ∴ f ?(

x1 ? x2 ln x2 ? ln x1 2 a 2 )? ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? ? 2 x1 ? x2 2 x1 ? x2 x2 ? x1

? 2 x ? 2 x1 1 ( 2 ? ln x1 ? ln x2 ) . ……………………………………9 分 x2 ? x1 x2 ? x1

………………………………………10 分

令 g ( x) ?

2 x2 ? 2 x ? ln x ? ln x2 ( x ? (0, x2 )) . x2 ? x

∴ g ?( x) ?

( x2 ? x)2 ? 0 ,∴ g ( x) 在 (0, x2 ) 单调递增,∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 , x( x2 ? x)2

………………………………………12 分

x ? x2 1 ) ? 0. ? 0 ,∴ f ?( 1 2 x2 ? x1

21.(黑龙江省哈师大附中 2013 届第三次高考模拟理)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a( x ?1) ? ln x 。

2

9

(1)若 y ? f ( x) 在 x = 2 处取得极小值,求 a 的值; (2)若 f ( x) ? 0 在 [1, ??) 上恒成立,求 a 的取值范围;

1 1 1 3n 2 ? n ? 2 ? ? ... ? ? (3)求证:当 n ≥ 2 时, 。 ln 2 ln 3 ln n 2n 2 ? 2n

21. 解: (Ⅰ)∵ f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x ) ? 2ax ?

1 x 1 8

4?

∵ f ( x ) 在 x ? 2 处取得极小值,∴ f ?(2) ? 0 ,即 a ? 此时,经验证 x ? 2 是 f ( x ) 的极小值点,故 a ? (Ⅱ)∵ f ?( x ) ? 2ax ?

1 . 8

1 , x

①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x ) 在 [1, ??) 上单调递减, ∴当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 矛盾. ②当 a ? 0 时, f ?( x) ?

6?

2ax 2 ? 1 x

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

1 1 ; f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 2a 2a

(ⅰ)当

1 1 ? 1 ,即 0 ? a ? 时, 2 2a

x ? (1,

1 ) 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 递减,∴ f ( x) ? f (1) ? 0 矛盾. 2a

(ⅱ)当

1 1 ? 1 ,即 a ? 时, 2 2a

x ? [1, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 递增,∴ f ( x) ? f (1) ? 0 满足题意.

综上, a ?

1 . 2

8?

(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知令 a ? 时取“ ? ”)

1 1 2 ,当 x ? [1, ??) 时, ( x ? 1) ? ln x ? 0 (当且仅当 x ? 1 2 2

10

? 当 x ? 1 时,

1 2 10? ? 2 ln x x ? 1 1 1 ? ? 即当 x ? 2,3, 4, , n, 有 ln 2 ln 3

?

1 1 1 ? 2( 2 ? 2 ? ln n 2 ?1 3 ?1

?

1 ) n ?1

2

1 1 1 ? 2( ? ? 1? 3 2 ? 4 3 ? 5

?

1 ) (n ? 1) ? (n ? 1) ?( 1 1 3n2 ? n ? 2 ? )] ? n ?1 n ? 1 2n 2 ? 2n

12?

1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 3 2 4 3 5

21.(东北三校 2013 届高三第二次联合模拟文)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ?

a ?1 (a ? R) , g ( x) ? ln x 。 x

(1)若对任意的实数 a,函数 f ( x ) 与 g ( x) 的图象在 x = x0 处的切线斜率总想等,求

x0 的值;

(2)若 a > 0,对任意 x > 0 不等式 f ( x) ? g ( x) ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围。 21. (本小题满分 12 分) 1? a 1 解: (Ⅰ) f ' ( x) ? a ? 2 , g ' ( x) ? x x 由题设知 x 0 ? 0 ,且 f ' ( x0 ) ? g ' ( x0 ) ,即 a ?

1? a x0

2

?

1 , x0

……2 分

? ax0 2 ? x0 ? 1 ? a ? 0,? a ( x0 2 ? 1) ? (1 ? x0 ) ? 0

2 ? ? x ? 1 ? 0, 因为上式对任意实数 a 恒成立,? ? 0 ? ? 1 ? x 0 ? 0.

… …4 分

故,所求 x 0 ? 1

……5 分

a ?1 (Ⅱ) f ( x ) ? g ( x ) ? 1 即 ax ? ? ln x ? 1 , x

方法一:在 x ? (0, ??) 时 ax ?

a ?1 ? ln x ? 1 恒成立,则在 x ? 1 处必成立,即 a ? a ?1 ? 0 ? 1 , x

故 a ? 1 是不等式 f ( x ) ? g ( x ) ? 1 恒成立的必要条件. 另一方面,当 a ? 1 时,记 h( x) ? ax ?

h' ( x ) ? a ? 1? a ?

……7 分

a ?1 ? ln x, 则在 (0,??) 上, h ( x ) ? 1 x

1 ax 2 ? x ? 1 ? a ( ax ? a ? 1)( x ? 1) ? ? x x2 x2 x2 ? a ? 1, x ? 0,? ax ? a ? 1 ? 0

……9 分

11

? x ? (0,1) 时 h' ( x ) ? 0 , h( x ) 单调递减; x ? (1, ??) 时 h' ( x ) ? 0 , h( x ) 单调递增

? h( x ) min ? h(1) ? 2a ? 1

? a ? 1 , ?2a ?1 ? 1 ,即 h ( x ) ? 1 恒成立

故 a ? 1 是不等式 f ( x ) ? g ( x ) ? 1 恒成立的充分条件. 综上,实数 a 的取值范围是 ?1,?? ? 方法二:记 h( x) ? ax ?

1? a x2

……11 分

……12 分

a ?1 ? ln x, 则在 (0,??) 上, h ( x ) ? 1 x

1 a ( x ? 1 ? )( x ? 1) a ( x ? 0, a ? 0) x2

h' ( x ) ? a ?

1 ax 2 ? x ? 1 ? a ? ? ? x x2

……7 分

① 若0 ? a ?

1 1 ,? 1 ? ? 1 , x ? (0,1) 时,h' ( x ) ? 0 ,h( x ) 单调递增,h( x ) ? h(1) ? 2a ? 1 ? 0 , 2 a 这与 (0,??) 上 h ( x ) ? 1 矛盾; ……8 分

1 ? a ? 1 , 0 ? ?1 ? 1 ? 1 , (1,??) 上 h' ( x ) ? 0, h( x ) 递增,而 h(1) ? 2a ? 1 ? 1 , 2 a 这与 (0,??) 上 h ( x ) ? 1 矛盾;……9 分

1 ?0, ? x ? (0,1) 时 h' ( x ) ? 0 ,h( x ) 单调递减;x ? (1, ??) 时 h' ( x ) ? 0 ,h( x ) a

② 若

③若 a ? 1 ,? 1 ? 单调递增

综上,实数 a 的取值范围是 ?1,?? ?

? h( x ) min ? h(1) ? 2a ? 1 ? 1 ,即 h ( x ) ? 1 恒成立

……11 分

……12 分

12


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