黑龙江省各地市高考数学 最新联考试题分类汇编(10)圆锥曲线

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黑龙江省各地市 高考数学最新联考试题分类汇编(10)圆锥曲线

一、选择题:

5.(东北三省三校 3月高三第一次联合模拟理)与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为( )

A. B. C. D.

解析:由题知:焦距为4,排除B,又焦点在y轴上排除A,将代入C、D可得C正确,故选C

11.(东北三省三校 3月高三第一次联合模拟理)若点在抛物线上,则点到点的距离与点到抛物线焦点的距离之差 ( )

A.有最小值,但无最大值 B有最大值但无最小值C.既无最小值,又无最大值 D.既有最小值,又有最大值

解析:做出抛物线及准线如图所示并作直线交抛物线于点,作

过点作直线交准线与、交抛物线于点,过点

由题可得:其中当且仅当重合时取等号,即:点到点的距离与点到抛物线焦点的距离之差取得最大值

当点不与点重合时有:

当点不与点重合时:有

综上可知:点到点的距离与点到抛物线焦点的距离之差 既有最小值,又有最大值

故选D

11.(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟理)过双曲线的左焦点作圆的切线,切点为,延长交抛物线于点为原点,若,则双曲线的离心率为( )

(A) (B) (C) (D)

【答案】A

12.(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟文)已知过原点的直线与椭圆交于A,B两点,为椭圆的左焦点,且,则椭圆的离心率为( )

(A) (B) (C) (D)

【答案】C

(5)(黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟文)双曲线的渐近线方程是,则其离心率为

(A) (B) (C) (D)

【答案】A

(10)(黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟文)已知是抛物线上的一个动点,是圆上的一个动点,是一个定点,则的最小值为

(A) (B) (C) (D)

【答案】A

11.(黑龙江省哈师大附中2013届第三次高考模拟理)已知双曲线,两个顶点分别为,若在双曲线上存在一点P,使得在ΔPA1A2中,∠PA1A2 = 30°,∠PA2A1 = 120°,则此双曲线的离心率为

A.

B.

C.

D.

【答案】C

12. (黑龙江省教研联合体2013届高三第二次模拟理)已知双曲线的左,右焦点分别为,点为双曲线的中心,点在双曲线右支上,的内切圆圆心为,圆与x轴相切于点A,过作直线PQ的垂线,垂足为B,则下列结论成立的是

A. B.

C. D.的大小关系不确定

【答案】C

3.(东北三校2013届高三第二次联合模拟文)双曲线的渐进线方程为

A.

B.

C.

D.

【答案】A

11.(东北三校2013届高三第二次联合模拟文)已知圆M过定点(2,0),且圆心M在抛物线上运动,若y轴截圆M所得弦为AB,则弦长|AB|等于

A.4

B.3

C.2

D.与点M位置有关

【答案】A

二、填空题:

13.(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟文)已知双曲线与双曲线有相同的渐近线,且的一个焦点为,则

【答案】2

14.(黑龙江省教研联合体2013届高三第二次模拟理)抛物线上的点到直线的最短距离为_____

【答案】

15 (黑龙江省牡丹江地区六市县2013届高三第一次联考理)已知、…、是抛物线上的点,它们的横坐标依次为、…、,F是抛物线的焦点,若,则_ __.

【答案】2023

三、解答题:

20.(东北三省三校 3月高三第一次联合模拟理)(本小题满分12分)

已知点E(m,0)为抛物线内的一个定点,过E作斜率分别为k1、k2的两条直线交抛物线于点A、B、C、D,且M、N分别是AB、CD的中点

(1)若m = 1,k1k2 = -1,求三角形EMN面积的最小值;

(2)若k1 + k2 = 1,求证:直线MN过定点。

解析:(Ⅰ)当时,E为抛物线的焦点,

,∴AB⊥CD

设AB方程为

,得

AB中点,∴,同理,点……2分

……4分

当且仅当,即时,△EMN的面积取最小值4. ……6分

(Ⅱ)证明:设AB方程为

,得

AB中点,同理,点……8分

……10分

∴MN:,即

∴直线MN恒过定点. ……12分

(20)(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟理)(本小题满分12分)

已知椭圆的左右焦点分别为,上顶点为,过点垂直的直线交轴负半轴于点,且三点的圆的半径为2,过定点的直线与椭圆交于两点(之间)

(1)求椭圆的标准方程;

(2)设直线的斜率,在轴上是否存在点,使得以为邻边的平行四边形为菱形?如果存在,求出的取值范围?如果不存在,请说明理由.

20解(1)的中点,三点的圆的圆心为,半径为 ......4分

(2)设直线的方程为

......6分

由于菱形对角线垂直,则

解得, ......9分

, ......11分

当且仅当时,等号成立 ......12分

(20)(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟文)(本小题满分12分)

已知抛物线,点M(m,0)在x轴的正半轴上,过M的直线l与C相交于A、B两点,O为坐标原点.

(Ⅰ)若m=1,l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程;

(Ⅱ)若存在直线l使得成等比数列,求实数m的取值范围.

20. (Ⅰ)解:由题意,得,直线l的方程为.

, 得,

设A, B两点坐标为, AB中点P的坐标为,

,

故点

所以,

故圆心为, 直径,

所以以AB为直径的圆的方程为

(Ⅱ)解:设A, B两点坐标为, .

,

所以

因为点A, B在抛物线C上,

所以, ②

,消去.

若此直线l使得成等比数列,则

,所以

因为,所以

整理得, ③

因为存在直线l使得成等比数列,

所以关于x1的方程有正根,

因为方程的两根之积为m2>0, 所以只可能有两个正根,

所以,解得.

故当时,存在直线l使得成等比数列.

(20)(黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟文)(本小题满分12分)

已知直线与椭圆相交于两点,是线段上的一点,,且点在直线上.

)求椭圆的离心率;

)设椭圆左焦点为,若为钝角,求椭圆长轴长的取值范围.

(20)(本小题满分12分)

解:设两点的坐标分别为.

)由的中点, ……………………1分

得:

, …………………3分

∴点的坐标为. ………………………4分

又点在直线上,∴

,∴,∴. …………………6分

)由()知,方程化为

. ………………………7分

, ,.………8分

由已知知,即

代入得,解得

综上得. …………………11分

, ∴的取值范围是. ……………………12分

20.(黑龙江省哈师大附中2013届第三次高考模拟理)(本小题满分12分)

设F1是椭圆x2 + 2y2 = 2的左焦点,线段MN为椭圆的长轴。若点P(-2,0),椭圆上两点A、B满足

(1)若λ = 3,求的值;

(2)证明:∠AF1M =∠BF1N

20. (Ⅰ)解:

法一:椭圆方程,取椭圆的右焦点,连结

法二:设 ,显然直线斜率存在,设直线方程为

得:

,符合,由对称性不妨设,解得

(Ⅱ)设,直线方程为

得:

,则直线的方程为,将代入得:,

不满足题意,同理不满足anzu_________________________________________________________________________________________________________________________

20.(东北三校2013届高三第二次联合模拟文)(本小题满分12分)

设椭圆C:的两个焦点为F1、F2,点B1为其短轴的一个端点,满足

(1)求椭圆C的方程;

(2)过点M做两条互相垂直的直线l1、l2设l1与椭圆交于点A、B,l2与椭圆交于点C、D,求的最小值。

20.(本小题满分12分)

解:(Ⅰ)不妨设 ……1分

……3分

所以椭圆方程为 ……4分

(Ⅱ)①当直线轴重合时,

,则 ……5分

②当直线不与轴重合时,设其方程为,设

……6分

垂直知:

……10分

当且仅当取到“=”.

综合①②, ……12分

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黑龙江省各地市 高考数学最新联考试题分类汇编(10)圆锥曲线

一、选择题:

y 2 x2 ? ? 1 共焦点且过点 (1, 3) 5. (东北三省三校 3 月高三第一次联合模拟理)与椭圆 C : 16 12

的双曲线的标准方程为( A. x ?

2

y2 ?1 3

B. y 2 ? 2 x2 ? 1C.

y 2 x2 ? ?1 2 2

D.

y2 ? x2 ? 1 3

解析:由题知:焦距为 4,排除 B,又焦点在 y 轴上排除 A,将 (1, 3) 代入 C、D 可得 C 正确, 故选 C 11.(东北三省三校 3 月高三第一次联合模拟理)若点 P 在抛物线 y ? 4 x 上,则点 P 到点

2

A(2,3) 的距离与点 P 到抛物线焦点的距离之差

A.有最小值,但无最大值 B 有最大值但无最小值 C.既无最小值,又无最大值 D.既有最 小值,又有最大值 解 析 : 做 出 抛 物 线 y 2 ? 4 x 及 准 线 如 图 所 示 并 作 直 线 AF 交 抛 物 线 于 点 P ,P2 , 作 1

PB ? 准线于点B

A 作 AA2 ? PB 于 A2 过点 A 作直线 AA1 交准线与 A 1 、交抛物线于点 P 3 ,过点

1

A1 P

A(2,3) P3 P1 A2

x=-1

O F

B

P2

第11小题图

P 到点 由题可得: |PA | ? | PF |?| AF | 其中当且仅当 点P与点P 2 重合时取等号,即:点

A(2,3) 的距离与点 P 到抛物线焦点的距离之差取得最大值

当点 P 不与点 P 3 重合时有: | PA |?| PA2 |

? | PA | ? | PF |?| PA2 | ? | PB |

? | PA | ? | PF |?| PA2 | ?(| A2 B | ? | PA2 |)=2|PA2|-|A2B|>-3或 | PA | ? | PF |?| PA2 | ?(| A2 B | + | PA2 |) ? ?3

当点 P 不与点 P 3 重合时:有 | PA | ? | PF | =-3 综上可知:点 P 到点 A(2,3) 的距离与点 P 到抛物线焦点的距离之差 最大值 故选 D 既有最小值,又有

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 的左焦 a2 b2 点 F ?? c,0? 作圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线,切点为 E ,延长 FE 交抛物线 y 2 ? 4cx 于点 P , O 为 1 原点,若 OE ? OF ? OP ,则双曲线的离心率为( ) 2

11.(黑龙江省哈六中 2013 届高三第二次模拟理)过双曲线

?

?

(A)

1? 5 2

(B)

1? 3 2

(C)

4 2 ?2 7

(D)

4 2?2 7

【答案】A

2

12 . ( 黑 龙 江 省 哈 六 中 2013 届 高 三 第 二 次 模 拟 文 ) 已 知 过 原 点 的 直 线 与 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 交于 A, B 两点,F 为椭圆的左焦点 AF ? BF , 且 | AF |? 2 | BF | , a 2 b2

则椭圆的离心率为( (A) 【答案】C

) (B)

3 ?1 2

2 2 3

(C)

5 3

(D) 3 ? 1

(5) (黑龙江省大庆市 2013 届高三第二次模拟文)双曲线 线方程是 2 x ? y ? 0 ,则其离心率为

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近 a2 b2

(A) 5 【答案】A

(B)

5 2

(C) 3

(D) 5

(10) (黑龙江省大庆市 2013 届高三第二次模拟文)已知 P 是抛物线 y ? 4 x 上的一个动点,

2

Q 是圆 ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 1 上的一个动点, N (1,0) 是一个定点,则 PQ ? PN 的

2 2

最小值为 (A) 3 【答案】A (B) 4 (C) 5 (D)

2 ?1

11 . ( 黑 龙 江 省 哈 师 大 附 中 2013 届 第 三 次 高 考 模 拟 理 ) 已 知 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,两个顶点分别为 A1 (?a, 0) 、 A2 (a,0) ,若在双曲线上存在一点 a 2 b2

P,使得在 Δ PA1A2 中,∠PA1A2 = 30°,∠PA2A1 = 120°,则此双曲线的离心率为

A. 3 【答案】C 12. (黑龙江省教研联合体 2013 届高三第二次模拟理)已知双曲线 B.

3 ?1 2

C. 2

D. 3 ? 1

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,点 O 为双曲线的中心,点 P 在双曲线右支上, ?PF1 F2 的内切

3

圆圆心为 Q ,圆 Q 与 x 轴相切于点 A,过 F2 作直线 PQ 的垂线,垂足为 B,则下列结论成立 的是 A. | OA |?| OB | C. | OA |?| OB | 【答案】C 3.(东北三校 2013 届高三第二次联合模拟文)双曲线 B. | OA |?| OB | D. | OA | 与 | OB | 的大小关系不确定

y2 ? x 2 ? 1的渐进线方程为 3

D. y ? ?

A. y ? ? 3x 【答案】A

B. y ? ?

3 x 3

C. y ? ?2 x

2 3 x 3

11. (东北三校 2013 届高三第二次联合模拟文)已知圆 M 过定点 (2,0) , 且圆心 M 在 y ? 4 x

2

抛物线上运动,若 y 轴截圆 M 所得弦为 AB,则弦长|AB|等于 A.4 C.2 【答案】A 二、填空题: 13.(黑龙江省哈六中 2013 届高三第二次模拟文)已知双曲线 C1 : 与 双 曲 线 C2 :

y 2 x2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) a 2 b2

B.3 D.与点 M 位置有关

x2 y2 ? ? 1 有 相 同 的 渐 近 线 , 且 C1 的 一 个 焦 点 为 (0, 5 ) , 则 4 16

a?

【答案】2

14 . ( 黑 龙 江 省 教 研 联 合 体 2013 届 高 三 第 二 次 模 拟 理 ) 抛 物 线 y ? x 上 的点 到直 线

2

x ? y ? 1 ? 0 的最短距离为_____

【答案】

3 2 8

15 (黑龙江省牡丹江地区六市县 2013 届高三第一次联考理)已知 P1 、 P2 、…、 P 2013 是抛物 线 y ? 4 x 上的点,它们的横坐标依次为 x1 、 x 2 、…、 x2013 ,F 是抛物线的焦点,若

2

4

x1 ? x2 ?

【答案】2023 三、解答题:

? x2013 ? 10 ,则 PF ?P 1 2F ?

?P 2013 F ? _

__.

20.(东北三省三校 3 月高三第一次联合模拟理)(本小题满分 12 分) 已知点 E(m,0)为抛物线内的一个定点,过 E 作斜率分别为 k1、k2 的两条直线交抛物线 于点 A、B、C、D,且 M、N 分别是 AB、CD 的中点 (1)若 m = 1,k1k2 = -1,求三角形 EMN 面积的最小值; (2)若 k1 + k2 = 1,求证:直线 MN 过定点。 解析: (Ⅰ)当 m ? 1 时,E 为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, ∵ k1k2 ? ?1,∴AB⊥CD 设 AB 方程为 y ? k1 ( x ? 1) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 由

? y ? k1 ( x ? 1) ? 2 ? y ? 4x

, 得

k1 y2 ? 4 y ? 4k1 ? 0 ,

y1 ? y2 ?

4 , y1 y2 ? ?4 k1

x1 ? x2 y1 ? y2 2 2 , ) ,∴ M ( 2 ? 1, ) ,同理,点 N (2k12 ? 1, ?2k1 ) ……2 分 2 2 k1 k1

AB 中点 M (

∴ S?EMN ?

1 1 2 2 1 | EM | ? | EN |? ( 2 )2 ? ( )2 ? (2k12 )2 ? (?2k1 )2 ? 2 k12 ? 2 ? 2 ……4 分 2 2 k1 k1 k1

? 2 2?2 ? 4

当且仅当 k1 ?

2

1 ,即 k1 ? ?1时,△EMN 的面积取最小值 4. k12

……6 分

(Ⅱ)证明:设 AB 方程为 y ? k1 ( x ? m) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 由?

? y ? k1 ( x ? m) ? y ? 4x

2

,得 k1 y ? 4 y ? 4k1m ? 0 , y1 ? y2 ?

2

4 , y1 y2 ? ?4m k1

5

AB 中点 M (

x1 ? x2 y1 ? y2 2 2 2 2 , ) , ∴ M ( 2 ? m, ) ,同理,点 N ( 2 ? m, ) ……8 分 2 2 k1 k1 k2 k2

……10 分

∴ kMN ?

yM ? yN kk ? 1 2 ? k1k2 xM ? xN k1 ? k2 2 2 ? k1k2 [ x ? ( 2 ? m)] ,即 y ? k1k2 ( x ? m) ? 2 k1 k1

∴MN: y ?

∴直线 MN 恒过定点 (m, 2) . (20)(黑龙江省哈六中 2013 届高三第二次模拟理)(本小题满分 12 分)

……12 分

x2 y 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,上顶点为 A ,过点 A 与 a b

AF2 垂直的直线交 x 轴负半轴于点 Q ,且 2F1 F2 ? F2 Q ? 0 , 过 A, Q, F2 三点的圆的半径为

2,过定点 M (0,2) 的直线 l 与椭圆 C 交于 G , H 两点( G 在 M , H 之间) (1)求椭圆的标准方程; (2)设直线 l 的斜率 k ? 0 ,在 x 轴上是否存在点 P (m,0) ,使得以 PG, PH 为邻边的平行四 边形为菱形?如果存在,求出 m 的取值范围?如果不存在,请说明 理由. 20 解(1)? 2F1 F2 ? F2 Q ? 0 ,? F1 是 F2 Q 的中点, Q(?3c,0) ,

? AQ ? AF2 , ?b 2 ? 3c 2 , a 2 ? 4c 2 , 过 A, Q, F2 三点的圆的圆心为 F1 (?c,0)

, 半 径 为

2c

, ?c ? 1

, ?

x2 y2 ? ?1 4 3

......4 分 (2)设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2(k ? 0)

? y ? kx ? 2(k ? 0) 1 ? 16k ? 2 ? (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 16kx ? 4 ? 0 ? ? ? 0 ? k ? , x1 ? x 2 ? 2 ?x y2 2 4k ? 3 ?1 ? ? 3 ?4

......6 分

PG ? PH ? ( x1 ? x2 ? 2m, k ( x1 ? x2 ) ? 4) , GH ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) ? ( x2 ? x1 , k ( x2 ? x1 ))

6

由于菱形对角线垂直,则 ( PG ? PH ) ? GH ? 0 ,?(1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? 4k ? 2m ? 0 解 得

m??

2k , 4k 2 ? 3

......9 分

即m ? ?

2 4k ? 3 k

,? k ?

1 3 ,? ? ?m?0, 2 6

......11 分

当且仅当

3 ? 4k 时,等号成立 k

......12 分

(20)(黑龙江省哈六中 2013 届高三第二次模拟文)(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : y ? 4x ,点 M(m,0)在 x 轴的正半轴上,过 M 的直线 l 与 C 相交于 A、B

2

两点,O 为坐标原点. (Ⅰ)若 m=1,l 的斜率为 1,求以 AB 为直径的圆的方程; (Ⅱ)若存在直线 l 使得 | AM |, | OM |, | MB | 成等比数列,求实数 m 的取值范围. 20. (Ⅰ)解:由题意,得 M (1,0) ,直线 l 的方程为 y = x - 1. 由?

?y ? x ?1 ? y ? 4x

2

, 得 x2 - 6 x + 1 = 0 ,

设 A, B 两点坐标为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

AB 中点 P 的坐标为 P( x0 , y0 ) ,

则 x1 = 3 + 2 2, x2 = 3- 2 2, y1 = x1 - 1 = 2 + 2 2, y2 = x2 - 1 = 2 - 2 2 , 故点 A(3 + 2 2,2 + 2 2), B(3- 2 2,2 - 2 2), 所以 x0 =

x1 + x2 = 3, y0 = x0 - 1 = 2 , 2

故圆心为 P(3, 2) , 直径 | AB |=

( x1 - x2 ) 2 + ( y1 - y2 ) 2 = 8 ,

2 2

所以以 AB 为直径的圆的方程为 ( x - 3) + ( y - 2) = 16 ; (Ⅱ)解:设 A, B 两点坐标为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , MB ? ? AM (? ? 0) . 则 AM ? (m ? x1, ? y1 ), MB ? ( x2 ? m, y2 ) ,

7

所以 ?

? x2 ? m ? ? ( m ? x1 ) ? y2 ? ?? y1

因为点 A, B 在抛物线 C 上,

2 所以 y12 = 4x1 , y2 = 4x2 ,

由○ 1○ 2 ,消去 x2 , y1 , y2 得 ? x1 ? m . 若此直线 l 使得 | AM |, | OM |, | MB | 成等比数列,则 | OM |2 ?| MB | ? | AM | ,

2 即 | OM |2 ? ? | AM | ? | AM | ,所以 m2 ? ?[( x1 ? m)2 ? y1 ],

因为 y12 = 4 x1 , ? x1 ? m ,所以 m2 ?

2 整理得 x1 ? (3m ? 4) x1 ? m2 ? 0 ,

m [( x1 ? m)2 ? 4 x1 ] , x1

因为存在直线 l 使得 | AM |, | OM |, | MB | 成等比数列, 所以关于 x1 的方程○ 3 有正根, 因为方程○ 3 的两根之积为 m >0, 所以只可能有两个正根,

2

?3m ? 4 ? 0 ? 所以 ? m 2 ? 0 ,解得 m ? 4 . ?? ? (3m ? 4) 2 ? 4m 2 ? 0 ?

故当 m ? 4 时,存在直线 l 使得 | AM |, | OM |, | MB | 成等比数列. (20)(黑龙江省大庆市 2013 届高三第二次模拟文)(本小题满分 12 分) 已知直线 l1 : x ? y ? 1 ? 0 与椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A, B 两点,M 是线段 a2 b2

1 x 上. 2

AB 上的一点, AM ? ? BM ,且点 M 在直线 l 2 : y ?

(I)求椭圆的离心率;

(II)设椭圆左焦点为 F 1B 为钝角,求椭圆长轴长的 取值范围. 1 ,若 ?AF (20) (本小题满分 12 分) 解:设 A, B 两点的坐标分别为 A( x1 , y1 ).B( x2 , y 2 ) .

8

(I)由 AM ? ? BM 知 M 是 AB 的中点,

……………………1 分

? x ? y ? 1 ? 0, ? 由 ? x2 得: (a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 ? a 2 b 2 ? 0 , y2 ? 2 ? 2 ? 1, b ?a

∴ x1 ? x 2 ?

2a 2 2b 2 y ? y ? ? ( x ? x ) ? 2 ? , , …………………3 分 1 2 1 2 a2 ? b2 a2 ? b2 a2 b2 , ). a2 ? b2 a2 ? b2 a2 2b 2 ? ? 0, a2 ? b2 a2 ? b2

2 . 2

…………………6 分 ………………………4 分

∴点 M 的坐标为 (

又点 M 在直线 l 2 上,∴

2 2 ∴ a 2 ? 2b 2 ? 2(a 2 ? c 2 ) ,∴ a ? 2c ,∴ e ?

2 2 (II)由(I)知 b ? c ,方程化为 3x ? 4 x ? 2 ? 2c ? 0

? ? 16 ? 24 ?1 ? c 2 ? ? 0, c ?

3 . 3

………………………7 分

2 ? 2c 2 2c 2 1 4 ? .………8 分 ∴ x1 ? x 2 ? , x1 x2 ? , y1 y 2 ? x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? ? 3 3 3 3

由已知知 F1 A ? F1 B ? 0 ,即 ( x1 ? c, y1 ) ? ( x2 ? c, y2 ) ? x1 x2 ? c( x1 ? x2 ) ? c ? y1 y2 ? 0

2

2 代入得 c ? 4c ? 3 ? 0 ,解得 c ? 2 ? 7 或 c ? 2 ? 7 ,

综上得 c ? 2 ? 7 . 又 a ? 2c , ∴ 2 a 的取值范围是 (4 2 ? 2 14,??) .

…………………11 分 ……………………12 分

20.(黑龙江省哈师大附中 2013 届第三次高考模拟理)(本小题满分 12 分) 设 F1 是椭圆 x + 2y = 2 的左焦 点,线段 MN 为椭圆的长轴。若点 P(-2,0),椭圆上两 点 A、B 满足 BP ? ? AP(? ? 1) 。 (1)若 λ = 3,求 3| AF 1 | ? | BF 1 | 的值; P y B A M F1 O N x

2 2

9

(2)证明:∠AF1M =∠BF1N 20. (Ⅰ)解:

x2 ? y 2 ? 1,取椭圆的右焦点 F2 ,连结 BF2 , F1 (?1,0) F2 (1,0) 法一:椭圆方程 2

y

? PF1 ? 1 , PF2 ? 3

? AF1 // BF2 且

AF1 1 ? BF2 3

BP ? 3 AP ?

PF1 PF2

?

AP BP

?

1 3

A P M

B

F1

o

F2

N

x

?3 AF1 ? BF1 ? BF2 ? BF1 ? 2 2

法二:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 线 AB 方程为 y ? k ( x ? 2)

4?

BP ? 3AP ? y2 ? 3y1 ,显然直线 AB 斜率存在,设直

由?

? y ? k ( x ? 2) 得: (1 ? 2k 2 ) y 2 ? 4ky ? 2k 2 ? 0 2 2 ?x ? 2 y ? 2

4k 2k 2 2 y y ? 3 y ? , , 1 2 1 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

? ? 0 , y1 ? y2 ? 4 y1 ?

?k2 ?

1 1 4 1 , 符 合 ??0 , 由 对 称 性 不 妨 设 k? , 解 得 A( ? , ) , 4 2 3 3

4?

B(0,1) ?3 AF1 ? BF1 ? 2 2

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,直线 AB 方程为 y ? k ( x ? 2) 由?

? y ? k ( x ? 2) 2 2 2 得: (1 ? 2k ) y ? 4ky ? 2k ? 0 2 2 ?x ? 2 y ? 2

2

6?

1 4k 2k 2 ? ? 0 得 0 ? k ? , y1 ? y2 ? , y1 y2 ? , 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

若 x1 ? ?1 ,则直线 PA 的方程为 y ? ? 不满足题意,? x1 ? ?1同理 x2 ? ?1

2 2 代入得: ? ? 0 , ( x ? 2) ,将 k ? ? 2 2

7?

10

tan ?AF1 N ?

y1 y2 y1 y , tan ?BF1 N ? , tan ?AF1 N ? tan ?BF1 N ? ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1

(

y2 y ? 2) y1 ? y1 ? ( 1 ? 2) y2 ? y2 x y ? y ? x y ? y2 k ? k ? 2 1 1 1 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

2 2k 2 4k 2 ? ? y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) 2 k (1 ? 2k ) 1 ? 2k 2 ?k ? ?0 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

10?

12?

? tan ?AF1 N ? ? tan ?BF1N ??AF1M ? ?BF1N

20.(东北三校 2013 届高三第二次联合模拟文)(本小题满分 12 分)

x2 y 2 设椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1、F2,点 B1 为其短轴的一个端点,满 a b

足 | B1F 1 | ?| B 1F 2 |? 2 , B 1F 1?B 1F 2 ? ?2 。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 M (1, 0) 做两条互相垂直的直线 l1、

l2 设 l1 与椭圆交于点 A、B,l2 与椭圆交于点 C、D,

求的最小值。 20.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)不妨设 F 1 (?c,0), F 2 (c,0), B 1 (0, b), | B1 F1 ? B1 F1 | ? 2b ? 2,? b ? 1 ……1 分

B1F1 ? B1F2 ? ?c2 ? b2 ? ?2?c ? 3,?a ? 2

所以椭圆方程为

……3 分

x2 ? y2 ? 1 4

……4 分

(Ⅱ)①当直线 l1 与 x 轴重合时, 设 A(?2,0), B(2,0), C (1, 5分

3 3 15 3 3 ? ? ), D(1,? ) 则 AC ? DB ? 3 ?1 ? 2 2 4 2 2 ,

……

11

②当直线 l1 不与 x 轴重合时,设其方程为 x ? m y ? 1 ,设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 由

? x ? my?1 ? 2 2 ?x ? 4 y ? 4

? 2m ?3 , y1 y 2 ? 2 2 m ?4 m ?4

……6 分

(m 2 ? 4) y 2 ? 2my ? 3 ? 0 , y1 ? y 2 ?

? AC ? DB ? ( MC ? MA) ? ( MB ? MD) ? ?MC ? MD ? MA? MB

MA ? ( x1 ? 1, y1 ) ? (my1 , y1 ), MB ? ( x2 ? 1, y2 ) ? (my2 , y2 )

? ? MA ? MB ? ?(m 2 ? 1) y1 y 2 ?

由 l 2 与 l1 垂直知: ? MC ? MD ?

? AC ? DB ? ? MC ? MD ? MA? MB ? 3( m 2 ? 1) m ?4

2

3(m 2 ? 1) m2 ? 4

3(1 ? m 2 ) 1 ? 4m 2

?

3(1 ? m 2 ) 1 ? 4m

2

?

15( m 2 ? 1) 2 ( m ? 4)(1 ? 4m )

2 2

……10 分

?

15(m 2 ? 1) 2 ? 5m 2 ? 5 ? ? ? ? ? 2 ? ?

2

?

12 5

当且仅当 m ? ?1 取到“=”. 综合①②, ( AC ? DB) min ?

12 5

……12 分

12


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