专题探究课二 高考中三角函数问题的热点题型

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专题探究课二 高考中三角函数问题的热点题型

1.(2017·昆明调研)函数f(x)=3sin

的部分图象如图所示.

(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0,y0的值;

(2)求f(x)在区间

上最大值和最小值.

解 (1)由题得,f(x)的最小正周期为π,y0=3.

当y0=3时,sin

=1,

由题干图象可得2x0+

=2π+

解得x0=

.

(2)因为x∈

所以2x+

.

于是:当2x+

=0,即x=-

时,f(x)取得最大值0;

当2x+

=-

,即x=-

时,f(x)取得最小值-3.

2.(2017·郑州模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知asin 2B=

bsin A.

(1)求B;

(2)若cos A=

,求sin C的值.

解 (1)在△ABC中,由

可得asin B=bsin A,

又由asin 2B=

bsin A,

得2asin Bcos B=

bsin A=

asin B,

又B∈(0,π),所以sin B≠0,

所以cos B=

,得B=

.

(2)由cos A=

,A∈(0,π),得sin A=

则sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B),

所以sin C=sin

sin A+

cos A=

.

3.(2017·西安调研)设函数f(x)=sin

+2sin2

(ω>0),已知函数f(x)的图象的相邻两对称轴间的距离为π.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c(其中b<c),且f(A)=

,△ABC的面积为S=6

,a=2

,求b,c的值.

解 (1)f(x)=

sin ωx+

cos ωx+1-cos ωx

sin ωx-

cos ωx+1=sin

+1.

∵函数f(x)的图象的相邻两对称轴间的距离为π,

∴函数f(x)的周期为2π.∴ω=1.

∴函数f(x)的解析式为f(x)=sin

+1.

(2)由f(A)=

,得sin

.

又∵A∈(0,π),∴A=

.

∵S=

bcsin A=6

,∴

bcsin

=6

,bc=24,

由余弦定理,得a2=(2

)2=b2+c2-2bccos

=b2+c2-24.

∴b2+c2=52,又∵b<c,解得b=4,c=6.

4.(2016·济南名校联考)已知函数f(x)=sin ωx+2

cos2

+1-

(ω>0)的周期为π.

(1)求f(x)的解析式并求其单调递增区间;

(2)将f(x)的图象先向下平移1个单位长度,再向左平移φ(φ>0)个单位长度得到函数h(x)的图象,若h(x)为奇函数,求φ的最小值.

解 (1)f(x)=sin ωx+2

cos2

+1-

sin ωx+2

×

+1-

=sin ωx+

cos ωx+1=2sin(ωx+

)+1.

又函数f(x)的周期为π,因此

=π,∴ω=2.

故f(x)=2sin

+1.

令2kπ-

≤2x+

≤2kπ+

(k∈Z),

得kπ-

≤x≤kπ+

(k∈Z),即函数f(x)的单调递增区间为

(k∈Z).

(2)由题意可知h(x)=2sin

又h(x)为奇函数,则2φ+

=kπ,

∴φ=

(k∈Z).∵φ>0,∴当k=1时,φ取最小值

.

5.(2016·浙江卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.

(1)证明:A=2B;

(2)若△ABC的面积S=

,求角A的大小.

(1)证明 ∵b+c=2acos B及正弦定理,

得sin B+sin C=2sin Acos B,

故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,

于是sin B=sin(A-B).

又A,B∈(0,π),故0所以,B=π-(A-B)或B=A-B,

因此A=π(舍去)或A=2B,

所以,A=2B.

(2)解 由S=

absin C=

故有sin Bsin C=

sin 2B=sin Bcos B,

因sin B≠0,得sin C=cos B.

又B,C∈(0,π),所以C=

±B.

当B+C=

时,A=

当C-B=

时,A=

.

综上,A=

或A=

.

6.(2017·东北四市模拟)已知函数f(x)=a·b,其中a=(2cos x,-

sin 2x),b=(cos x,1),x∈R.

(1)求函数y=f(x)的单调递减区间;

(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,f(A)=-1,a=

,且向量m=(3,sin B)与n=(2,sin C)共线,求边长b和c的值.

解 (1)f(x)=2 cos2x-

sin 2x=1+cos 2x-

sin 2x=1+2cos

令2kπ≤2x+

≤2kπ+π(k∈Z),

解得kπ-

≤x≤kπ+

(k∈Z),

∴函数y=f(x)的单调递减区间为

(k∈Z).

(2)∵f(A)=1+2cos

=-1,

∴cos

=-1,

<2A+

,∴2A+

=π,即A=

.

∵a=

∴由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc=7.①

∵向量m=(3,sin B)与n=(2,sin C)共线,

∴2sin B=3sin C,由正弦定理得2b=3c,②

由①②得b=3,c=2.

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专题探究课二 高考中三角函数问题的热点题型 π? ? 1.(2017· 昆明调研)函数 f(x)=3sin?2x+ ?的部分图象如图所 6? ? 示. (1)写出 f(x)的最小正周期及图中 x0,y0 的值; π? ? π (2)求 f(x)在区间?- ,- ?上最大值和最小值. 12? ? 2 解 (1)由题得,f(x)的最小正周期为π ,y0=3. π? ? 当 y0=3 时,sin?2x0+ ?=1, 6? ? π π 由题干图象可得 2x0+ 6 =2π + 2 , 7π 解得 x0= 6 . π? ? π (2)因为 x∈?- ,- ?, 12? ? 2 π ? 5π ? ?. 所以 2x+ 6 ∈?- , 0 6 ? ? π π 于是:当 2x+ 6 =0,即 x=-12时,f(x)取得最大值 0; π π π 当 2x+ 6 =- 2 ,即 x=- 3 时,f(x)取得最小值-3. 2.(2017· 郑州模拟)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,已知 asin 2B= 3bsin A. (1)求 B; 1 (2)若 cos A=3,求 sin C 的值. a b 解 (1)在△ABC 中,由sin A=sin B, 可得 asin B=bsin A, 又由 asin 2B= 3bsin A, 得 2asin Bcos B= 3bsin A= 3asin B, 又 B∈(0,π ),所以 sin B≠0, π 3 所以 cos B= 2 ,得 B= 6 . 1 2 2 (2)由 cos A=3,A∈(0,π ),得 sin A= 3 , 则 sin C=sin[π -(A+B)]=sin(A+B), π? ? 所以 sin C=sin?A+ ? 6? ? 2 6+1 3 1 = 2 sin A+2cos A= 6 . ωx π? ? 3.(2017· 西安调研)设函数 f(x)=sin?ω x+ ?+2sin2 2 (ω>0),已知函数 f(x)的图 6? ? 象的相邻两对称轴间的距离为π . (1)求函数 f(x)的解析式; 3 (2)若△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c(其中 b<c),且 f(A)=2, △ABC 的面积为 S=6 3,a=2 7,求 b,c 的值. 3 1 解 (1)f(x)= 2 sin ω x+2cos ω x+1-cos ω x π? 3 1 ? = 2 sin ω x-2cos ω x+1=sin?ω x- ?+1. 6? ? ∵函数 f(x)的图象的相邻两对称轴间的距离为π , ∴函数 f(x)的周期为 2π .∴ω =1. ? π? ∴函数 f(x)的解析式为 f(x)=sin?x- ?+1. 6? ? π? 1 3 ? (2)由 f(A)=2,得 sin?A- ?=2. 6? ? 又∵A∈(0,π ),∴A= π . 3 π 1 1 ∵S=2bcsin A=6 3,∴2bcsin 3 =6 3,bc=24, π 由余弦定理,得 a2=(2 7)2=b2+c2-2bccos 3 =b2+c2-24. ∴b2+c2=52,又∵b<c,解得 b=4,c=6. ωx 4.(2016· 济南名校联考)已知函数 f(x)=sin ω x+2 3cos2 2 +1- 3(ω>0)的周期 为π . (1)求 f(x)的解析式并求其单调递增区间; (2)将 f(x)的图象先向下平移 1 个单位长度, 再向左平移 φ(φ>0)个单位长度得到函 数 h(


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