第7讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

来源:互联网 由 学数学就是简单 贡献 责任编辑:王小亮  
第7讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

一、选择题

1.若直线l 的方向向量为a =(1,0,2),平面α的法向量为n =(-2,0,-4),则( )

A.l ∥α

B.l ⊥α

C.l ?α

D.l 与α相交

解析 ∵n =-2a ,∴a 与平面α的法向量平行,∴l ⊥α.

答案 B

2.若AB

→=λCD →+μCE →,则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( ) A.相交

B.平行

C.在平面内

D.平行或在平面内

解析 ∵AB

→=λCD →+μCE →,∴AB →,CD →,CE →共面. 则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内.

答案 D

3.已知平面α内有一点M (1,-1,2),平面α的一个法向量为n =(6,-3,6),则下列点P 中,在平面α内的是( )

A.P (2,3,3)

B.P (-2,0,1)

C.P (-4,4,0)

D.P (3,-3,4)

解析 逐一验证法,对于选项A ,MP

→=(1,4,1), ∴MP

→·n =6-12+6=0,∴MP →⊥n , ∴点P 在平面α内,同理可验证其他三个点不在平面α内.

答案 A

4.(2017·西安月考)如图,F 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱CD

的中点.E 是BB 1上一点,若D 1F ⊥DE ,则有( )

A.B 1E =EB

B.B 1E =2EB

C.B 1E =12EB

D.E 与B 重合

解析 分别以DA ,DC ,DD 1为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,设正方形的

边长为2,则D (0,0,0),F (0,1,0),D 1(0,0,2),设E (2,2,z ),D 1F →=

-2),DE →=(2,2,z ),∵D 1F →·DE →=0×2+1×2-2z =0,∴z =1,∴B 1E

=EB .

答案 A

5.如图所示,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点M ,P ,

Q 分别为棱AB ,CD ,BC 的中点,若平行六面体的各棱长均

相等,则:

①A 1M ∥D 1P ;

②A 1M ∥B 1Q ;

③A 1M ∥平面DCC 1D 1;

④A 1M ∥平面D 1PQB 1.

以上说法正确的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

解析 A 1M →=A 1A →+AM →=A 1A →+12AB →,D 1P →=D 1D →+DP →=A 1A →+12

AB →,∴A 1M →∥D 1P →,所以A 1M ∥D 1P ,由线面平行的判定定理可知,A 1M ∥面DCC 1D 1,A 1M ∥面D 1PQB 1.①③④正确.

答案 C

二、填空题

6.(2017·武汉调研)已知平面α内的三点A (0,0,1),B (0,1,0),C (1,0,0),平面β的一个法向量n =(-1,-1,-1),则不重合的两个平面α与β的位置关系是________.

解析 设平面α的法向量为m =(x ,y ,z ),

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第7讲 一、选择题 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 1.若直线 l 的方向向量为 a=(1,0,2),平面 α 的法向量为 n=(-2,0,-4), 则( A.l∥α C.l?α 解析 答案 ) B.l⊥α D.l 与 α 相交 ∵n=-2a,∴a 与平面 α 的法向量平行,∴l⊥α. B ) → =λCD → +μCE → ,则直线 AB 与平面 CDE 的位置关系是( 2.若AB A.相交 C.在平面内 解析 B.平行 D.平行或在平面内 → =λCD → +μCE → ,∴AB → ,CD → ,CE → 共面. ∵AB 则 AB 与平面 CDE 的位置关系是平行或在平面内. 答案 D 3.已知平面 α 内有一点 M(1,-1,2),平面 α 的一个法向量为 n=(6,-3,6), 则下列点 P 中,在平面 α 内的是( A.P(2,3,3) C.P(-4,4,0) 解析 ) B.P(-2,0,1) D.P(3,-3,4) → =(1,4,1), 逐一验证法,对于选项 A,MP → ·n=6-12+6=0,∴MP → ⊥n , ∴MP ∴点 P 在平面 α 内,同理可验证其他三个点不在平面 α 内. 答案 A 4.(2017· 西安月考)如图, F 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 CD 的中点.E 是 BB1 上一点,若 D1F⊥DE,则有( A.B1E=EB B.B1E=2EB ) 1 C.B1E=2EB D.E 与 B 重合 解析 分别以 DA,DC,DD1 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,设正方形的 → 边长为 2,则 D(0,0,0),F(0,1,0),D1(0,0,2),设 E(2,2,z),D 1F= → =(2,2,z),∵D → → (0,1,-2),DE 1F·DE=0×2+1×2-2z=0,∴z=1,∴B1E =EB. 答案 A 5.如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 M,P, Q 分别为棱 AB,CD,BC 的中点,若平行六面体的各棱长均 相等,则: ①A1M∥D1P; ②A1M∥B1Q; ③A1M∥平面 DCC1D1; ④A1M∥平面 D1PQB1. 以上说法正确的个数为( A.1 B.2 ) C.3 D.4 → → → → 1→ → → → → 1→ → → 解析 A 1M=A1A+AM=A1A+ AB,D1P=D1D+DP=A1A+ AB,∴A1M∥D1P, 2 2 所以 A1M∥D1P, 由线面平行的判定定理可知, A1M∥面 DCC1D1, A1M∥面 D1PQB1. ①③④正确. 答案 C 二、填空题 6.(2017· 武汉调研)已知平面 α 内的三点 A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0), 平面 β 的一个法向量 n=(-1,-1,-1),则不重合的两个平面 α 与 β 的位 置关系是________. 解析 设平面 α 的法向量为 m=(x,y,z), → 由 m· AB=0,得 x· 0+y-z=0?y=z, → =0,得 x-z=0?x=z,取 x=1, 由 m· AC ∴m=(1,1,1),m=-n,∴m∥n,∴α∥β. 答案 α∥β → =(1,5,-2),BC → =(3,1,z),若AB → ⊥BC → ,BP → =(x 7.(2016· 青岛模拟)已知AB -1,y,-3),且 BP⊥平面 ABC,则实数 x+y=________. 3+5-2z=0, ? ? 40 15 由条件得?x


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