2019高考数学大一轮总复习 2.4函数的奇偶性及周期性课时作业 理

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第4讲 函数的奇偶性及周期性

A 级训练

(完成时间:10分钟)

1.奇函数的图象关于______对称( )

A .x 轴

B .y 轴

C .直线y =x

D .原点

2.函数f (x )=x (-1A .奇函数非偶函数

B .偶函数非奇函数

C .奇函数且偶函数

D .非奇非偶函数

3.下列函数为偶函数的是( )

A .y =sin x

B .y =x 3

C .y =e x

D .y =ln x 2+1

4.已知f (x )在R 上是奇函数,且f (x +4)=f (x ),当x ∈(0,2)时,f (x )=2x 2,则f (7)=( )

A .-2

B .2

C .-98

D .98

5.定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图所示,则在(-2,0)上,下列函数中与f (x )的单调性不同的是( )

A .y =x 2+1

B .y =|x |+1

C .y =?

???? 2x +1 x ≥0x 3+1 x <0 D .y =????? e x x ≥0e -x x <0 6.构造一个满足下面三个条件的函数实例:①函数在(-∞,-

1)上为减函数;②函数具有奇偶性;③函数有最小值;这样的函数可以为(只写一个) y =x 2 .

7.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数,若当x ∈(0,+∞)时,f (x )=lg x ,则满足f (x )>0的x 的取值范围是 (-1,0)∪(1,+∞) .

8.设f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,并且f (x )-g (x )=x 2-x ,求f (x ),g (x ).

B 级训练

(完成时间:15分钟)

1.[限时2分钟,达标是( )否( )]

已知y =f (x )是定义在R 上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是( )

①y =f (|x |);②y =f (-x );③y =xf (x );④y =f (x )+x .

A .①③

B .②③

C .①④

D .②④

2.[限时2分钟,达标是( )否( )]

定义在R 上的偶函数f (x )满足对任意的x 1,x 2∈[0,+∞)(x 1≠x 2),有f x 2-f x 1

x 2-x 1

<0,则( )

A .f (3)B .f (1)C .f (-2)D .f (3)3.[限时2分钟,达标是( )否( )]

定义在R 上的函数f (x )是奇函数又是以2为周期的周期函数,则f (1)+f (4)+f (7)等于( )

A .-1

B .0

C .1

D .4

4.[限时2分钟,达标是( )否( )]

(2014·湖南)已知f (x ),g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且f (x )-g (x )=x 3+x 2+1,则f (1)+g (1)=( )

A .-3

B .-1

C .1

D .3

5.[限时2分钟,达标是( )否( )]

已知函数f (x )为R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=x (x +1).若f (a )=-2,则实数a = -1 .

6.[限时2分钟,达标是( )否( )]

设函数f (x )=x 3cos x +1.若f (a )=11,则f (-a )= -9 .

7.[限时3分钟,达标是( )否( )]

已知函数f (x )=

????? -x 2+2x x x =x 2+mx x 是奇函数.

(1)求实数m 的值;

(2)若函数f (x )在区间[-1,a -2]上单调递增,求实数a 的取值范围.

C 级训练

(完成时间:10分钟)

1.[限时4分钟,达标是( )否( )]

已知y =f (x )是定义在R 上的函数,且对任意x ∈R ,都有:f (x +2)=1-f x 1+f x

,又f (1)=12,f (2)=14

,则f (2014)=__________. 2.[限时6分钟,达标是( )否( )]

已知函数f (x )是定义在实数集R 上的奇函数,当x >0时,f (x )=ax +ln x ,其中常数a ∈R .

(1)求函数f (x )的解析式;

(2)若函数f (x )在区间(-∞,-1)上是单调减函数,求a 的取值范围;

(3)f ′(x )为函数f (x )的导函数,问是否存在实数x 0∈(1,e),使得对任意实数a ,都

有f ′(x 0)=f -f e -1

成立?若存在,请求出x 0的值;若不存在,请说明理由.

第4讲 函数的奇偶性及周期性

【A 级训练】

1.D 解析:根据奇函数的定义和性质可知,奇函数的图象关于原点对称.

2.D

3.D 解析:由函数奇偶性的定义知A 、B 项为奇函数,C 项为非奇非偶函数,D 项为偶函数.

4.A 解析:因为f (x +4)=f (x ),所以f (7)=f (3)=f (-1),又f (x )在R 上是奇函

数,所以f (-1)=-f (1)=-2×12=-2.

5.C 解析:利用偶函数的对称性,知f (x )在(-2,0)上为减函数.选项A 的图象在(-2,0)上为减函数;选项B 的图象在(-2,0)上为减函数;选项C 在(-2,0)上为增函数.选项D 在(-2,0)上为减函数.

6.y =x 2 解析:根据基本初等函数、函数的性质和题意,选择一个形如y =ax 2(a >0)

的二次函数即可.

,0)∪(1,+∞) 解析:画草图,由f (x )为奇函数知:f (x )>0的x 的取值范围为(-1,0)∪(1,+∞).

8.解析:f (x )为奇函数,所以f (-x )=-f (x );

g (x )为偶数,所以g (-x )=g (x ).

f (x )-

g (x )=x 2-x ,

所以f (-x )-g (-x )=x 2+x .

从而-f (x )-g (x )=x 2+x ,

即f (x )+g (x )=-x 2-x ,

????? f x -g x =x 2-x f x +g x =-x 2-x ?????? f x =-x g x =-x 2.

【B 级训练】

1.D 解析:由奇函数的定义:f (-x )=-f (x )验证,①f (|-x |)=f (|x |),故为偶函数;②f [-(-x )]=f (x )=-f (-x ),为奇函数;③-xf (-x )=-x ·[-f (x )]=xf (x ),为偶函数;④f (-x )+(-x )=-[f (x )+x ],为奇函数,可知②④正确.

2.A 解析:由题知,对任意的x 1,x 2∈[0,+∞)(x 1≠x 2),有f x 2-f x 1x 2-x 1

<0,所以f (x )在[0,+∞)上单调递减,又f (x )是偶函数,故f (x )在(-∞,0]上单调递增.由此知,此函数具有性质:自变量的绝对值越小,函数值越大,f (-2)=f (2),3>2>1>0,所以f (3)3.B 解析:据题意f (7)=f (-1+8)=-f (1),所以f (1)+f (7)=0,又f (4)=f (0)=0,所以f (1)+f (4)+f (7)=0.

4.C 解析:由f (x )-g (x )=x 3+x 2+1,将所有x 替换成-x ,得f (-x )-g (-x )=-

x 3+x 2+1,根据f (x )=f (-x ),g (-x )=-g (x ),得f (x )+g (x )=-x 3+x 2+1,再令x =1,计算得,f (1)+g (1)=1.

解析:令x <0,则-x >0,所以f (-x )=-x (1-x ),又f (x )为奇函数,所

以当x <0时有f (x )=x (1-x ),令f (a )=a (1-a )=-2,得a 2-a -2=0,解得a =-1或

a =2(舍去).

解析:令g (x )=f (x )-1=x 3cos x ,因为g (-x )=(-x )3cos(-x )=-x 3cos x

x ),所以g (x )为定义在R 上的奇函数.又因为f (a )=11,所以g (a )=f (a )-1=10,g (-a )=-g (a )=-10.又g (-a )=f (-a )-1,所以f (-a )=g (-a )+1=-9.

7.解析:(1)设x <0,则-x >0,

所以f (-x )=-(-x )2+2(-x )=-x 2-2x ,

又f (x )为奇函数,所以f (-x )=-f (x ),

于是x <0时,f (x )=x 2+2x =x 2+mx ,所以m =2.

(2)要使f (x )在[-1,a -2]上单调递增,结合f (x )的图象知?

????

-1a -2≤1, 所以1【C 级训练】

1.14 解析:令x =1,则f (3)=1-f 1+f =13

, 令x =2,则f (4)=1-f 1+f =35

, 同理得f (5)=12,f (6)=14

, 即当x ∈N *时,f (n )的值以4为周期,

所以f (2014)=f (503×4+2)=f (2)=14

. 2.解析:(1)f (0)=0,x <0时,f (x )=-f (-x )=ax -ln(-x ),

所以f (x )=

????? ax +ln x x >x =ax --x x <.

(2)函数f (x )是奇函数,则f (x )在区间(-∞,-1)上单调递减,当且仅当f (x )在区间

(1,+∞)上单调递减,当x >0时,f (x )=ax +ln x ,f ′(x )=a +1x

, 由f ′(x )=a +1x <0得a <-1x ,-1x

在区间(1,+∞)的取值范围为(-1,0), 所以a 的取值范围为(-∞,-1].

(3)存在.f -f e -1=a e +-a e -1=a +1e -1,解f ′(x 0)=a +1x 0=a +1e -1

,得x 0=e -1,

因为1


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