黑龙江省各地市高考数学 最新联考试题分类汇编(13)概率

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黑龙江省各地市 高考数学最新联考试题分类汇编(13)概率

一、选择题:

(2)(黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟文)从甲、乙、丙三名学生中选出两名,参

加两个不同学习小组,其中甲、乙不同时入选的概率为

(A )

56 (B )23 (C )12 (D )34

【答案】B

4.(黑龙江省哈师大附中2013届第三次高考模拟理)已知随机变量ξ

服从正态分布

N (1,σ2),且P (ξ < 2) = 0.8,则P (0 < ξ < 1) =

A .0.2

B .0.3

C .0.4

D .0.6

【答案】B

10. (黑龙江省教研联合体2013届高三第二次模拟理)已知实数,a b 满足04

04a b ≤≤??

≤≤?

,12

,x x 是关于x 的方程2230x x b a -+-+=的两个实根,则不等式1201x x <<<成立的概率为 A.

332 B.316 C. 532 D. 9

16

【答案】A 二、填空题:

14.(东北三省三校 3月高三第一次联合模拟理)已知{,)|||1,||1}x y x y A Ω=≤≤(

,是曲线2

y x =与1

2

y x =围成的区域,若向区域Ω上随机投一点P ,则点P 落入区域A 的概率

为 .

解析:由题知:此题是几何概型问题,从而1

20

)1()4

12

A x dx

S

P A S Ω

==

=

?

14. (黑龙江省牡丹江地区六市县2013届高三第一次联考理) 第十五届全运会将在哈尔滨

市举行. 若将6名志愿者每2人一组,分派到3个不同的场馆,则甲、乙两人必须分在同组的概率是_______ 【答案】

5

1 三、解答题:

18.(东北三省三校 3月高三第一次联合模拟理)(本小题满分12分)

PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,根据现行国家标准GB3095 – 2012,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米 ~ 75毫克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标。

从某自然保护区2012年全年每天的PM2.5监测值数据中随机地抽取10天的数据作为样本,监测值频数如下表所示:

(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中,随机抽取3天,求恰有1天空气质量达到一级的概率;

(2)从这10天的数据中任取3天数据,记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求ξ的分布列;

(3)以这10天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量状况,则一年(按366天算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级。(精确到整数)

解析:(Ⅰ)记“从10天的PM2.5日均监测数据中,随机抽出三天,恰有一天空气质量达到

一级”为事件A , ……1分

12373

1021

()40

C C P A C ?==. ……4分 (Ⅱ)依据条件,ξ服从超几何分布:其中10,3,3N M n ===,ξ的可能值为0,1,2,3,

其分布列为:()()337

3

10

0,1,2,3k k

C C P k k C ξ-===

……6分 ……8分

(Ⅲ)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为7

10

P =

,

一年中空气质量达到一级或二级的天数为η,则η~(366,0.7)B ……10分

3660.7256.2256E η∴=?=≈,

∴一年中平均有256天的空气质量达到一级或二级 .…12分

(18)(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟理)(本小题满分12分)

某射击比赛规则如下,开始时在距目标100米处射击,如果命中记3分,且停止射击;若第一次射击未命中,可以进行第二次射击,但目标已在150米处,这时命中记2分,且停止射击;若第二次仍未命中还可以进行第三次射击,但此时目标已在200米处,若第三次命中则记1分,并停止射击;若三次都未命中,则记0分,已知某射手在100米处击中目标的概率为

1

2

,他的命中率与目标距离的平方成反比,且各次射击都是相互独立的 (1)求这名射手在射击比赛中命中目标的概率;

(2)若这名射手在射击比赛中得分记为ξ,求ξ的分布列与数学期望. 18解:记“第一、二、三次射击命中目标”分别为事件A ,B ,C ,2100

21)(k

A P ==,5000=k 则92150

5000)(2

==

B P ,81

2005000)(2==C P ......3分 (1)“该射手射中目标”为事件D ,144

95

8797211)(=??-=D P ......5分

(2)射手得分为ξ,则3,2,1,0=ξ ...... 6分

14449)0(=

=ξP , 1447819721)1(=??==ξP , 121)2(=?==ξP , 2

1

)3(==ξP ......10 分

48

85

)(=ξE ...... 12分 (18)(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟文)(本小题满分12分)

某班对喜爱打篮球是否与性别有关进行了调查,以本班的50人为对象进行了问卷调查

)

)()()(()(2

2

d b c a d c b a bc ad n K ++++-=

已知在全部50人中随机抽取1人,抽到喜爱打篮球的学生的概率为

5

3 (Ⅰ)请将上面的列联表补充完整;

(Ⅱ)是否有9.99%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由;

(Ⅲ)已知不喜爱打篮球的5位男生中,321,,A A A 喜欢踢足球,21,B B 喜欢打乒乓球,现

再从喜欢踢足球、喜欢打乒乓球的男生中各选出1名同学进行其他方面的调查,求1

A 和1

B 至少有一个被选中的概率.

18.(1)

(2)828.103.825

252030)5101520(50))()()(()(2

22

<=????-?=++++-=d b c a d c b a bc ad n K

故没有9.99%的把握认为喜爱打篮球与性别有关 (3)设“1A 和1B 至少一个被选中”为事件A

从喜欢踢足球、喜欢打乒乓球的男生中各选出1名同学的结果有:

),(),,(),,(),,(),,(),,(231322122111B A B A B A B A B A B A ,共6种

其中1A 和1B 至少一个被选中的结果有:),(),,(),,(),,(13122111B A B A B A B A 所以3

2

64)(==

A P 18.(东北三校2013届高三第二次联合模拟文)(本小题满分12分)

某学生社团在对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现,在回收上来的1000份有效问卷中,同学们背英语单词的时间安排共有两种:白天背和晚上临睡前背。为研究背单词时间安排对记忆效果的影响,该社团以5%的比例对这1000名学生按时间安排类型进行分层抽样,并完成一项实验,实验方法是,使两组学生记忆40个无意义音节(如XIQ 、GEH ),均要求在刚能全部记清时就停止识记,并在8小时后进行记忆测验。不同的是,甲组同学识

记结束后一直不睡觉,8小时后测验;乙组同学识记停止后立刻睡觉,8小时后叫醒测验。 两组同学识记停止8小时后的准确回忆(保持)情况如图(区间含左端点而不含右端点)

(1)估计1000名被调查的学生中识记停止后8小时40个音节的保持率大于等于60%的人数;

(2)从乙组准确回忆因结束在[12,24)范围内的学生中随机选3人,记能准确回忆20个以上(含20)的人数为随机变量X ,求X 分布列及数学期望;

(3)从本次实验的结果来看,上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好? 计算并说明理由。

18.(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)∵10005%50?=,由甲图知,甲组有4108421130++++++=(人),∴乙组有20人.

又∵4060%24?=,∴甲组有1人、乙组有(0.06250.0375)4208+??=人符合

要求,

(18)5%180+÷=(人),即估计1000名学生中保持率大于等于60%的人数为180

人.……4分

(Ⅱ)乙组准确回忆音节数在)12,8[范围内的学生有2040125.0??=1人,记为a ,)16,12[范

围内的学生有2204025.0=??人,记为B A ,,)20,16[范围内的学生有2人,记为D C ,

从这五人中随机选两人,共有10种等可能的结果:

),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(D C D B C B D A C A B A D a C a B a A a

记“两人均能准确记忆12个(含12个)以上”为事件E , 则事件E 包括6种可能

结果:),(),,(),,(),,(),,(),,(D C D B C B D A C A B A 故53106)(==

E P ,即两人均准确回忆12个(含12个)以上的概率为5

3

……10分

(Ⅲ)甲组学生准确回忆音节数共有:28812612221841481010642=?+?+?+?+?+?+?个

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黑龙江省各地市 高考数学最新联考试题分类汇编(13)概率

一、选择题: (2)(黑龙江省大庆市 2013 届高三第二次模拟文)从甲、乙、丙三名学生中选出两名,参 加两个不同学习小组,其中甲、乙不同时入选的概率为 (A) 【答案】B 4 . ( 黑龙江省哈师大附中 2013 届第三次高考模拟理 ) 已知随机变量 ξ 服从正态分布

5 6

(B)

2 3

(C)

1 2

(D)

3 4

N(1,σ 2),且 P(ξ < 2) = 0.8,则 P(0 < ξ < 1 ) =

A.0.2 【答案】B 10. (黑龙江省教研联合体 2013 届高三第二次模拟理)已知实数 a, b 满足 ? B.0.3 C.0.4 D.0.6

?0 ? a ? 4 ,x1 , x2 ?0 ? b ? 4

是关于 x 的方程 x 2 ? 2 x ? b ? a ? 3 ? 0 的两个实根,则不等式 0 ? x1 ? 1 ? x2 成立的概率为 A.

3 32

B.

3 16

C.

5 32

D.

9 16

【答案】A 二、填空题:

{ x, y) || x |? 1,| y| ?1} ,A 是曲线 14. (东北三省三校 3 月高三第一次联合模拟理)已知 ? ?(

y ? x2 与 y ? x 2 围成的区域,若向区域 ? 上随机投一点 P ,则点 P 落入区域 A 的概率

为 .

1

S 解析:由题知:此题是几何概型问题,从而 P( A) ? A ? S?

?(

0

1

x ? x 2 )dx 4

?

1 12

14. (黑龙江省牡丹江地区六市县 201 3 届高三第一次联考理) 第十五届全运会将在哈尔滨 市举行. 若将 6 名志愿者每 2 人一组,分派到 3 个不同的场馆,则甲、乙两人必须分在 同组的概率是_______ 【答案】

三、解答题: 18.(东北三省三校 3 月高三第一次联合模拟理)(本小题满分 12 分)

1 5

1

PM2.5 是指悬浮在空气中的空 气动力学当量直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物, 也称为 可入肺颗粒物,根据现行国家标准 GB3095 – 2012,PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空 气质量为一级;在 35 微克/立方米 ~ 75 毫克/立方米之间空气质量为二级;在 75 微克/立 方米以上空气质量为超标。

从某自然保护区 2012 年全年每天的 PM2.5 监测值数据中随机地抽取 10 天的数据作为样本, 监测值频数如下表所示: PM2.5 日均值 [25,35] (微克/立方米) 频数 3 1 1 1 1 3 (35,45] (45,55] (55,65] (65,75] (75,85]

(1)从这 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中,随机抽取 3 天,求恰有 1 天空气质量达到 一级的概率; (2)从这 10 天的数据中任取 3 天数据,记 ξ 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数,求 ξ 的分布列; (3)以这 10 天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气质量状况,则一年(按 366 天算)中 平均有多少天的空气质量达到一级或二级。

(精确到整数) 解析: (Ⅰ)记“从 10 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天,恰有一天空气质量达到 一级”为事件 A , ??1 分

1 2 C3 ? C7 21 . P( A) ? ? 3 C10 40

??4 分

(Ⅱ) 依据条件, 其中 N ? 10, M ? 3, n ? 3 , ? 服从超几何分布: ? 的可 能值为 0,1, 2,3 , 其分布列为: P ?? ? k ? ?

3? k C3k C7 ? k ? 0,1, 2,3? 3 C10

??6 分 ??8 分

0

7 24

1

2

3

1 120

21 40

7 40

(Ⅲ )依题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为 P ?

7 , 10

2

一年中空气质量达 到 一级或二级的天数为? ,则? ~ B(366,0.7)

??10 分

? E? ? 366 ? 0.7 ? 256.2 ? 256 ,

?一年中平均有 256 天的空气质量 达到一级或二级

(18)(黑龙江省哈六中 2013 届高三第二次模拟理)(本小题满分 12 分)

.?12 分

某射击比赛规则如下,开始时在距目标 100 米处射击,如果命中记 3 分,且停止射击; 若第一次射击未命中,可以进行第二次射击,但目标已在 150 米处,这时命中记 2 分,且停 止射击;若第二次仍未命中还可以进行第三次射击,但此时目标已在 200 米处,若第三次命 中则记 1 分,并停止射击;若三次都未命中,则记 0 分,已知某射手在 100 米处击中目标的 概率为

1 ,他的命中率与目标距离的平方成反比,且各次射击都是相互独立的 2

(1)求这名射手在射击比赛中命中目标的概率; (2)若这名射手在射击比赛中得分记为 ? ,求 ? 的分布列与数学期望. 18 解: 记“第一、 二、 三次射击命中目标” 分别为事件 A, B, C,P ( A) ? 则 P( B) ?

1 k ? ,k ? 5000 2 100 2

......3 分

5000 2 5000 1 ? , P (C ) ? ? 2 9 200 2 8 150

(1) “该射手射中目标”为事件 D, P( D) ? 1 ? (2)射手得分为 ? ,则 ? ? 0,1,2,3

1 7 7 95 ? ? ? 2 9 8 144

......5 分 ...... 6 分

49 1 7 1 7 , , P(? ? 1) ? ? ? ? 144 2 9 8 144 1 2 1 1 P(? ? 2) ? ? ? , P(? ? 3) ? 2 9 9 2 ? 0 1 2 3 1 1 49 7 P 144 144 9 2 85 E(? ) ? 48 P(? ? 0) ?

(18)(黑龙江省哈六中 2013 届高三第二次模拟文)(本小题满分 12 分)

......10 分

...... 12 分

某班对喜爱打篮球是否与性别有关进行了调查,以本 班的 50 人为对象进行了问卷调查 得到了如下的列联表: 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合 计 男生 5 女生 10 合计 50

3

已知在全部 50 人中随机抽取 1 人,抽到喜爱打篮球的学生的概率为

3 5

(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整; (Ⅱ)是否有 99 .9 %的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由; (Ⅲ)已知不喜爱打篮球的 5 位男生中, A1 , A2 , A3 喜欢踢足球, B1 , B2 喜欢打乒乓球,现 再从喜欢踢足球、喜欢打乒乓球的男生中各选出 1 名同学进行其他方面的调查,求 A1 和 B1 至少有一个被选中的概率. 附: P( K 2 ? k ) 0.05 0.01 0.001

K2 ?

k

18.(1)

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

3.841

6.635

10.828

喜爱打篮球 男生 女生 合计 (2) K 2 ? 20 10 30

不喜爱打篮球 5 15 20

合 25 25 50

n(ad ? bc) 2 50(20 ? 15 ? 10 ? 5) 2 ? ? 8.3 ? 10.828 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 30 ? 20 ? 25? 25

故没有 99 .9 %的把握认为喜爱打篮球与性别有关 (3)设“ A1 和 B1 至少一个被选中”为事件 A 从喜欢踢足球、喜欢打乒乓球的男生中各选出 1 名同学的结果有:

( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A3 , B1 ), ( A3 , B2 ) ,共 6 种

其中 A1 和 B1 至少一个被选中的结果有: ( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A2 , B1 ), ( A3 , B1 ) 所以 P ( A) ?

4 2 ? 6 3

18.(东北三校 2013 届高三第二次联合模 拟文)(本小题满分 12 分) 某学生社团在对本校 学生学习方法开展问卷调查的过程中发现,在回收上来的 1000 份 有效问卷中,同学们背英语单词的时间安排共有两种:白天背和晚上临睡前背。

为研究背单 词时间安排对记忆效果的影响,该社团以 5%的比例对这 1000 名学生按时间安排类型进行分 层抽样,并完成一项实验 ,实验方法是,使两组学生记忆 40 个无意义音节(如 XIQ、GEH) , 均要求在刚能全部记清时就停止识记,并在 8 小时后进行记忆测验。

不同的是,甲组同学识

4

记结束后一直不睡觉,8 小时后测验;乙组同学识记停止后立刻睡觉,8 小时后叫醒测验。

两组同学识记停止 8 小时后的准确回忆(保持)情况如图(区间含左端点而不含右端点)

(1)估计 1000 名被调查的学生中识记停止后 8 小时 40 个音节的保持率大于等于 60%的 人数; (2)从乙组准确回忆因结束在[12,24)范围内的学生中随机选 3 人,记能准确回忆 20 个以上(含 20)的人数为随机变 量 X,求 X 分布列及数学期望; (3) 从本次实验的结果来看, 上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更 好? 计算并说明理由。

18.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ 1000 ? 5% ? 50 ,由甲图知,甲组有 4 ? 10 ? 8 ? 4 ? 2 ? 1 ? 1 ? 30 (人) ,∴乙 组有 20 人 . 又∵ 40 ? 60% ? 24 ,∴甲组有 1 人、乙组有 (0.0625 ? 0.0375) ? 4 ? 20 ? 8 人符合 要求,

(1 ? 8) ? 5% ? 180 (人) ,即估计 1000 名学生中保持率大于等于 60%的人数为 180

人.??4 分 (Ⅱ)乙组准确回忆音节数在 [8,12) 范围内的学生有 0.0125? 4 ? 20=1 人,记为 a , [12,16) 范 围内的学生有 0.025? 4 ? 20 ? 2 人,记为 A, B , [16,20) 范围内的学生有 2 人,记为 C , D 从这五人中随机选两人,共有 10 种等可能的结果:

(a, A), (a, B), (a, C ), (a, D), ( A, B), ( A, C ), ( A, D), ( B, C ), ( B, D), (C , D)

记“两人均能准确记忆 12 个(含 12 个)以上”为事件 E , 则事件 E 包括 6 种可能 结果: ( A, B), ( A, C ), ( A, D), ( B, C ), ( B, D), (C , D) 故 P( E ) ?

6 3 3 ? ,即两人均准确回忆 12 个(含 12 个)以上的概率为 10 5 5

??10

分 (Ⅲ)甲组学生准确回忆音节数共有:2 ? 4 ? 6 ?10 ? 10? 8 ? 14? 4 ? 18? 2 ? 22?1 ? 26?1 ? 288 个

5

故甲组学生的平均保持率为

1 288 1 ? ? ? 9.6 ? 24% 40 30 40

乙组学生准确回忆音节数共有:

(6 ? 0.0125? 10 ? 0.0125? 14 ? 0.025 ? 18 ? 0.025 ? 22 ? 0.075 ? 26 ? 0.0625? 30 ? 0.0375 ) ? 4 ? 432

故乙组学生平均保持率为

1 432 1 ? ? ? 21.6 ? 54% ? 24% 40 20 40

所以从本次实验结果来看,乙组临睡前背单词记忆效果更好. ??12 分 (回答 21.6 ? 9.6 等,也可给分)

6


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