高考专题突破二 高考中的三角函数与平面向量问题

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高考专题突破二 高考中的三角函数与平面向量问题

【考点自测】

1.(2016·全国Ⅱ)若将函数y=2sin 2x的图象向左平移

个单位长度,则平移后图象的对称轴为(  )

A.x=

(k∈Z) B.x=

(k∈Z)

C.x=

(k∈Z) D.x=

(k∈Z)

答案 B

解析 由题意将函数y=2sin 2x的图象向左平移

个单位长度后得到函数的解析式为y=2sin

,由2x+

=kπ+

(k∈Z)得函数的对称轴为x=

(k∈Z),故选B.

2.(2016·全国Ⅲ)在△ABC中,B=

,BC边上的高等于

BC,则cos A等于(  )

A.

B.

C.-

D.-

答案 C

解析 设BC边上的高AD交BC于点D,由题意B=

,可知BD=

BC,DC=

BC,tan∠BAD=1,tan∠CAD=2,tan A=tan(∠BAD+∠CAD)=

=-3,

所以cos A=-

.

3.在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则

等于(  )

A.2 B.4 C.5 D.10

答案 D

解析 将△ABC的各边均赋予向量,

-6

=42-6=10.

4.(2016·全国Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=

,cos C=

,a=1,则b=________.

答案 

解析 在△ABC中,由cos A=

,cos C=

,可得sin A=

,sin C=

,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos A·sin C=

,由正弦定理得b=

.

5.若函数y=Asin(ωx+φ)

在一个周期内的图象如图所示,M,N分别是这段图象的最高点和最低点,且

·

=0(O为坐标原点),则A=________.

答案 

π

解析 由题意知M

,N

又∵

·

×

-A2=0,∴A=

π.

题型一 三角函数的图象和性质

例1 (2016·山东)设f(x)=2

sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2.

(1)求f(x)的单调递增区间;

(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移

个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求g

的值.

解 (1)由f(x)=2

sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2

=2

sin2x-(1-2sin xcos x)

(1-cos 2x)+sin 2x-1

=sin 2x-

cos 2x+

-1

=2sin

-1.

由2kπ-

≤2x-

≤2kπ+

(k∈Z),

得kπ-

≤x≤kπ+

(k∈Z).

所以f(x)的单调递增区间是

(k∈Z)

.

(2)由(1)知f(x)=2sin

-1,

把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),

得到y=2sin

-1的图象,

再把得到的图象向左平移

个单位长度,

得到y=2sin x+

-1的图象,

即g(x)=2sin x+

-1.

所以g

=2sin

-1=

.

思维升华 三角函数的图象与性质是高考考查的重点,通常先将三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,然后将t=ωx+φ视为一个整体,结合y=sin t的图象求解.

跟踪训练1 已知函数f(x)=5sin xcos x-5

cos2x+

(其中x∈R),求:

(1)函数f(x)的最小正周期;

(2)函数f(x)的单调区间;

(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心.

解 (1)因为f(x)=

sin 2x-

(1+cos 2x)+

=5

=5sin

所以函数的最小正周期T=

=π.

(2)由2kπ-

≤2x-

≤2kπ+

(k∈Z),

得kπ-

≤x≤kπ+

(k∈Z),

所以函数f(x)的单调递增区间为

(k∈Z).

由2kπ+

≤2x-

≤2kπ+

(k∈Z),

得kπ+

≤x≤kπ+

(k∈Z),

所以函数f(x)的单调递减区间为

(k∈Z).

(3)由2x-

=kπ+

(k∈Z),得x=

(k∈Z),

所以函数f(x)的对称轴方程为x=

(k∈Z).

由2x-

=kπ(k∈Z),得x=

(k∈Z),

所以函数f(x)的对称中心为

(k∈Z).

题型二 解三角形

例2 (2017·全国Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2

.

(1)求cos B;

(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.

解 (1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin2

故sin B=4(1-cos B).

上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,

解得cos B=1(舍去)或cos B=

.故cos B=

.

(2)由cos B=

,得sin B=

故S△ABC=

acsin B=

ac.

又S△ABC=2,则ac=

.

由余弦定理及a+c=6,

得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)

=36-2×

×

=4.

所以b=2.

思维升华 根据三角形中的已知条件,选择正弦定理或余弦定理求解;在解决有关角的范围问题时,要注意挖掘题目中隐含的条件,对结果进行正确的取舍.

跟踪训练2 (2017·北京)在△ABC中,∠A=60°,c=

a.

(1)求sin C的值;

(2)若a=7,求△ABC的面积.

解 (1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=

a,

所以由正弦定理得

sin C=

×

.

(2)因为a=7,所以c=

×7=3.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得

72=b2+32-2b×3×

解得b=8或b=-5(舍去).

所以△ABC的面积S=

bcsin A=

×8×3×

=6

.

题型三 三角函数和平面向量的综合应用

例3 已知向量a=

,b=(cos x,-1).

(1)当a∥b时,求cos2x-sin 2x的值;

(2)设函数f(x)=2(a+b)·b,已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=

,b=2,sin B=

,求f(x)+4cos

的取值范围.

解 (1)因为a∥b,

所以

cos x+sin x=0,

所以tan x=-

.

cos2x-sin 2x=

.

(2)f(x)=2(a+b)·b

=2

·(cos x,-1)

=sin 2x+cos 2x+

sin

.

由正弦定理

,得

sin A=

所以A=

或A=

.

因为b>a,所以A=

.

所以f(x)+4cos

sin

因为x∈

,所以2x+

所以

-1≤f(x)+4cos

.

所以f(x)+4cos

的取值范围是

.

思维升华 (1)向量是一种解决问题的工具,是一个载体,通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.

(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化,注意角的范围对变形过程的影响.

跟踪训练3 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量m=(cos A-2cos C,2c-a),n=(cos B,b)平行.

(1)求

的值;

(2)若bcos C+ccos B=1,△ABC的周长为5,求b的长.

解 (1)由已知得b(cos A-2cos C)=(2c-a)cos B,

由正弦定理,可设

=k≠0,

则(cos A-2cos C)ksin B=(2ksin C-ksin A)cos B,

即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B,

化简可得sin(A+B)=2sin(B+C),

又A+B+C=π,

所以sin C=2sin A,因此

=2.

(2)由余弦定理可知,

bcos C+ccos B=b·

+c·

=a=1,

由(1)知

=2,则c=2,

由周长a+b+c=5,得b=2.

1.已知函数f(x)=sin

+sin

-2cos2

,x∈R(其中ω>0).

(1)求函数f(x)的值域;

(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为

,求函数y=f(x)的单调递增区间.

解 (1)f(x)=

sin ωx+

cos ωx+

sin ωx-

cos ωx-(cos ωx+1)

=2

-1=2sin

-1.

由-1≤sin

≤1,

得-3≤2sin

-1≤1,

所以函数f(x)的值域为[-3,1].

(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知,y=f(x)的周期为π,

所以

=π,即ω=2.

所以f(x)=2sin

-1,

再由2kπ-

≤2x-

≤2kπ+

(k∈Z),

解得kπ-

≤x≤kπ+

(k∈Z).

所以函数y=f(x)的单调递增区间为

(k∈Z).

2.(2016·北京)在△ABC中,a2+c2=b2+

ac.

(1)求B的大小;

(2)求

cos A+cos C的最大值.

解 (1)由a2+c2=b2+

ac,得a2+c2-b2=

ac.

由余弦定理,得cos B=

.

又0<B<π,所以B=

.

(2)A+C=π-B=π-

所以C=

-A,0<A<

.

所以

cos A+cos C=

cos A+cos

cos A+cos

cos A+sin

sin A

cos A-

cos A+

sin A

sin A+

cos A

=sin

.

因为0<A<

,所以

<A+

<π,

故当A+

,即A=

时,

cos A+cos C取得最大值1.

3.(2018·合肥质检)已知a=(sin x,

cos x),b=(cos x,-cos x),函数f(x)=a·b+

.

(1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程;

(2)若方程f(x)=

在(0,π)上的解为x1,x2,求cos(x1-x2)的值.

解 (1)f(x)=a·b+

=(sin x,

cos x)·(cos x,-cos x)+

=sin x·cos x-

cos2x+

sin 2x-

cos 2x=sin

.

令2x-

=kπ+

(k∈Z),得x=

(k∈Z).

即函数y=f(x)图象的对称轴方程为

x=

(k∈Z).

(2)由条件知sin

=sin

>0,

且0

,(x1,f(x1))与(x2,f(x2))关于直线x=

对称,则x1+x2=

∴cos(x1-x2)=cos

=cos

=cos

=sin

.

4.(2017·东北三省四市二模)已知点P(

,1),Q(cos x,sin x),O为坐标原点,函数f(x)=

·

.

(1)求函数f(x)的最小正周期;

(2)若A为△ABC的内角,f(A)=4,BC=3,求△ABC周长的最大值.

解 (1)由已知,得

=(

,1),

=(

-cos x,1-sin x),

所以f(x)=

·

=3-

cos x+1-sin x

=4-2sin

所以函数f(x)的最小正周期为2π.

(2)因为f(A)=4,所以sin

=0,

又0

<

,A=

.

因为BC=3,

所以由正弦定理,得AC=2

sin B,AB=2

sin C,

所以△ABC的周长为3+2

sin B+2

sin C

=3+2

sin B+2

sin

=3+2

sin

.

因为0

所以

<

所以当B+

,即B=

时,

△ABC的周长取得最大值,最大值为3+2

.

5.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acos C+

asin C-b-c=0.

(1)求A;

(2)若AD为BC边上的中线,cos B=

,AD=

,求△ABC的面积.

解 (1)acos C+

asin C-b-c=0,

由正弦定理得sin Acos C+

sin Asin C=sin B+sin C,

即sin Acos C+

sin Asin C=sin(A+C)+sin C,

亦即sin Acos C+

sin Asin C

=sin Acos C+cos Asin C+sin C,

sin Asin C-cos Asin C=sin C.

又sin C≠0,所以

sin A-cos A=1,

所以sin(A-30°)=

.

在△ABC中,0°所以A-30°=30°,得A=60°.

(2)在△ABC中,因为cos B=

,所以sin B=

.

所以sin C=sin(A+B)=

×

×

.

由正弦定理,得

.

设a=7x,c=5x(x>0),

则在△ABD中,AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos B,

=25x2+

×49x2-2×5x×

×7x×

解得x=1(负值舍去),

所以a=7,c=5,

故S△ABC=

acsin B=10

.

6.(2017·山东淄博模拟)已知函数f(x)=

sin ωxcos ωx-cos2ωx+

(ω>0),与f(x)图象的对称轴x=

相邻的f(x)的零点为x=

.

(1)讨论函数f(x)在区间

上的单调性;

(2)设△ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c且c=

,f(C)=1,若向量m=(1,sin A)与向量n=(2,sin B)共线,求a,b的值.

解 (1)f(x)=

sin 2ωx-

sin 2ωx-

cos 2ωx=sin

.

由与f(x)图象的对称轴x=

相邻的零点为x=

·

所以ω=1,即f(x)=sin

令z=2x-

函数y=sin z的单调递增区间是

,k∈Z,

由-

+2kπ≤2x-

+2kπ,k∈Z,

得-

+kπ≤x≤

+kπ,k∈Z,

设A=

B=

易知A∩B=

所以当x∈

时,f(x)在区间

上单调递增,在区间

上单调递减.

(2)f(C)=sin

-1=0,

则sin

=1,

因为0

<2C-

<

所以2C-

,解得C=

.

因为m=(1,sin A)与向量n=(2,sin B)共线,

所以sin B=2sin A,

由正弦定理得,b=2a.①

由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos

即a2+b2-ab=3.②

由①②解得a=1,b=2.

以下内容为系统自动转化的文字版,可能排版等有问题,仅供您参考:

高考专题突破二 【考点自测】 高考中的三角函数与平面向量问题 π 1.(2016· 全国Ⅱ)若将函数 y=2sin 2x 的图象向左平移 个单位长度,则平移后图象的对称轴 12 为( ) kπ π B.x= + (k∈Z) 2 6 kπ π D.x= + (k∈Z) 2 12 kπ π A.x= - (k∈Z) 2 6 kπ π C.x= - (k∈Z) 2 12 答案 B 解析 π 由题意将函数 y=2sin 2x 的图象向左平移 个单位长度后得到函数的解析式为 y= 12 π? π π kπ π 2sin? ?2x+6?,由 2x+6=kπ+2(k∈Z)得函数的对称轴为 x= 2 +6(k∈Z),故选 B. π 1 2.(2016· 全国Ⅲ)在△ABC 中,B= ,BC 边上的高等于 BC,则 cos A 等于( 4 3 3 10 10 A. B. 10 10 答案 C π 1 2 解析 设 BC 边上的高 AD 交 BC 于点 D, 由题意 B= , 可知 BD= BC, DC= BC, tan∠BAD 4 3 3 1+2 =1,tan∠CAD=2,tan A=tan(∠BAD+∠CAD)= =-3, 1-1×2 所以 cos A=- 10 . 10 C.- 10 3 10 D.- 10 10 ) PA2+PB2 3.在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为线段 CD 的中点,则 等 PC2 于( ) A.2 B.4 C.5 D.10 答案 D 解析 将△ABC 的各边均赋予向量, → → PA2+PB2 PA2+PB2 = PC2 → PC2 则 = → → → → ?PC+CA?2+?PC+CB?2 → PC2 → → → → → →2 →2 2PC2+2PC· CA+2PC· CB+CA +CB → PC2 → → → → → 2|PC|2+2PC· ?CA+CB?+|AB|2 → |PC|2 → → → 2|PC|2-8|PC|2+|AB|2 → |PC|2 → |AB|2 = -6 → |PC|2 = = = =42-6=10. 4 5 4.(2016· 全国Ⅱ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A= ,cos C= ,a 5 13 =1,则 b=________. 答案 21 13 4 5 3 12 解析 在△ABC 中,由 cos A= ,cos C= ,可得 sin A= ,sin C= ,sin B=sin(A+C) 5 13 5 13 63 asin B 21 =sin Acos C+cos A· sin C= ,由正弦定理得 b= = . 65 sin A 13 π? 5.若函数 y=Asin(ωx+φ)? ?A>0,ω>0,|φ|<2?在一个周期内的图象如图所示,M,N 分别是这 → → 段图象的最高点和最低点,且OM· ON=0(O 为坐标原点),则 A=________. 答案 7 π 12 π 7π ,A?,N? ,-A?, 解析 由题意知 M? ?12 ? ?12 ? 7 → → π 7π 又∵OM· ON= × -A2=0,∴A= π. 12 12 12 题型一 三角函数的图象和性质 例1 (2016· 山东)设 f(x)=2 3sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2. (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)把 y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)


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