黑龙江省各地市高考数学 最新联考试题分类汇编(8)立体几何

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黑龙江省各地市 高考数学最新联考试题分类汇编(8)立体几何

一、选择题:

10.(东北三省三校 3月高三第一次联合模拟理)点在同一个球的球面上,

若四面体体积的最大值为,则这个球的表面积为( )

A. 3 B. C. D.

解析:

是直角三角形,

的外接圆的圆心在边如图所示,若使四面体体积的最大值只需使点平面的距离最大,又平面,所以点是直线与球的交点最大。

设球的半径为,则由体积公式有:

中, ,解得:

,故选C

4.(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟理)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( )

(A) (B)160 (C) (D)

【答案】C

10.(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟理)已知球的直径是球球面上的三点,是正三角形,且

,则三棱锥的体积为( )

(A) (B) (C) (D)

【答案】B

(9)(黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟文)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为

2

2

2

俯视图

侧视图

正视图

2(A) (B) (C) (D)

【答案】B

6.(黑龙江省哈师大附中2013届第三次高考模拟理)若一个四面体的四个面均为直角三角形,正视图与俯视图如图所示均为直角

边为1的等腰直角三角形,则该几何体的侧视图的面积为

A.

B.

C.

D.

【答案】C

9.(黑龙江省哈师大附中2013届第三次高考模拟理)四棱锥P—ABCD,底面ABCD是边长为6的正方形,且PA = PB = PC = PD,若一个半径为1的球与此四棱锥的各个面相切,则此四棱锥的体积为

A.15

B.24

C.27

D.30

【答案】C

3.(黑龙江省教研联合体2013届高三第二次模拟理)若某几何体的三视图(图中单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是( )

A. B.

C. D.

【答案】B

9. (黑龙江省教研联合体2013届高三第二次模拟理)已知球的半径为5,球面被互相垂直的两个平面所截,得到两个圆的公共弦长为,若其中一个圆的半径为4,则另一个圆的半径为

A. B. C. D.

【答案】D

8.(东北三校2013届高三第二次联合模拟文)三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为的正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,若球O与各三棱柱ABC-A1B1C1各侧面、底面均相切,则侧棱AA1的长为

A.

B.

C.1

D.

【答案】C

10.(东北三校2013届高三第二次联合模拟文)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为

A.

B.

C.

D.

【答案】B

二、填空题:

15.(东北三省三校 3月高三第一次联合模拟理)已知某几何体的三视图如图,其中正视图中半圆直径为2,则该几何体的体积为__________。

解析:由视图知:所求的几何体体积等于一个长方体的体积减去半个圆柱的体积即:

14.(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟文)长方体的各个顶点都在体积为的球O 的球面上,其中,则四棱锥O-ABCD 的体积的最大值为 .

【答案】2

16.(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟文)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于 .

【答案】

(16)(黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟文)正方体的各顶点都在的球面上,若三棱锥的体积为,则球的体积为____________.

【答案】

三、解答题:

19.(东北三省三校 3月高三第一次联合模拟理)(本小题满分12分)

如图,三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱AA2⊥底面ABC,∠ACB = 90°,E是棱CC1上动点,F是AB中点,AC = 1,BC = 2,AA1 = 4。

(1)当E是棱CC1中点时,求证:CF∥平面AEB1;

(2)在棱CC1上是否存在点E,使得二面角A—EB1—B的余弦值是,若存在,求CE的长,若不存在,请说明理由。

解析:(1)证明:取AB1的中点G,联结EG,FG

F、G分别是棱AB、AB1中点,

FG∥EC,, FG=EC 

四边形FGEC是平行四边形,

……4分

CF平面AEB1,平面AEB1

平面AEB. ……6分

(2)解:以C为坐标原点,射线CA,CB,CC1为轴正半轴,

建立如图所示的空间直角坐标系

则C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,4)

,平面AEB1的法向量.

,

……8分

平面

是平面EBB1的法向量,则平面EBB1的法向量 ……10分

二面角A—EB1—B的平面角余弦值为

解得

在棱CC1上存在点E,符合题意,此时 ……12分

(19)(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟理)(本小题满分12分)

如图,三棱柱中,是以为底边的等腰三角形,平面平面分别为棱的中点

(1)求证:平面

(2)若为整数,且与平面所成的角的余弦值为,求二面角的余弦值.

19解(1)是以为斜边的等腰直角三角形, 取的中点,连接,设,则

,且面

为坐标原点,以轴建立空间直角坐标系

设平面的一个法向量为

, 又 ...... 4分

(2)设平面的一个法向量为

,令,则

= ...... 6分

解得为整数 ...... 8分

所以 同理可求得平面的一个法向量

= ......11分

又二面角为锐二面角,故余弦值为 ......12分

(19)(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟文)(本小题满分12分)

如图,三棱柱中,侧棱与底面垂直,分别是的中点

(Ⅰ)求证:∥平面

(Ⅱ)求证:⊥平面

(Ⅲ)求三棱锥的体积的体积.

19.(1)证明:连结,显然过点

分别是的中点, ∴

平面,平面∥平面

(2)证明:∵三棱柱中,侧棱与底面垂直,

∴四边形是正方形 ∴,

由(1)知

连结,由

,又易知的中点, ∴,

⊥平面

(3)因为,所以三棱锥与三棱锥的体积相等,

(18)(黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟文)(本小题满分12分)

已知侧棱垂直于底面的三棱柱的所有棱长都相等,为棱中点.

)证明:

)在线段上是否存在点,使∥平面,若存在,确定点的位置;若不存在,请说明理由.

(18)(本小题满分12分)

解:()连结,设,连结

∵四边形是正方形,

的中点. …………2分

由题意知

,∴. …………4分

又∵平面

平面. …………6分

平面,∴. ……………………………………7分

)存在点的中点,使平面. …………………………8分

连接, ,∴

∴四边形为平行四边形,∴. ………………………………10分

平面平面,∴∥平面. ………………12分

19.(黑龙江省哈师大附中2013届第三次高考模拟理)(本小题满分12分)

在三棱柱ABC—A1B1C1中,侧棱CC1⊥底面ABC,∠ACB = 90°,且AC = BC = CC1,O为AB1中点。

(1)求证:CO⊥平面ABC1;

(2)求直线BC与平面ABC1所成角的正弦值。

19. 法一:

(Ⅰ)证明:取中点,连结,

,,

分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,

,

, 平面,

平面

(Ⅱ)解:由已知为平面的一个法向量,

直线与平面所成角的正弦值为

法二:(Ⅰ)证明:取中点,连结,

,

平面,

平面, ,

连结,平面,

平面,

,且,平面,

平面,平面,

,又平面,平面

(Ⅱ)解:连结,连结,

与平面所成的角,

中,

,中,

直线与平面所成角的正弦值为

19.(东北三校2013届高三第二次联合模拟文)(本小题满分12分)

已知四边形ABCD为平行四边形,BC⊥平面ABE,AE⊥BE,BE = BC = 1,AE =,M为线段AB的中点,N为线段DE的中点,P为线段AE的中点。

(1)求证:MN⊥EA;

(2)求四棱锥M – ADNP的体积。

19.(本小题满分12分)

解: (Ⅰ) ……2分

平面平面

的中点,的中点,

……4分

平面

……6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,且

,,,

, ……8分

,

为直角梯形 ……10分

,

四棱锥的体积 ……12分

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黑龙江省各地市 高考数学最新联考试题分类汇编(8)立体几何

一、选择题: 10.(东北三省三校 3 月高三第一次联合模拟理)点 A、B、C、D 在同一个球的球面上,

AB ? BC ? 2 , AC ? 2 ,

2 若四面体 ABCD 体积的最大值为 ,则这个球的表面积为( ) 3 125? 25? A. 3 B. 8? C . 6 4 25? D. 16

解析:

D

O C B A O1

AB ? BC ? 2 , AC ? 2 ,

? ?ABC 是直角三角形,

? ?ABC 的外接圆的圆心在边 AC的中点O1 如图所示, 若使四面体 ABCD

体积的最大值只需使点 D 平面 ABC 的距离最大,又 OO1 ? 平面 ABC ,所以点 D 是直线 OO1 与球的交点最大。 设球的半径为 R ,则由体积公式有: O1D ? 2 在 Rt ?AOO1 中, R2 ? 1 ? (2 ? R)2 ,解得: R ?

第10小题

? S球O的表面积 =

25? ,故选 C 4

5 4

4.(黑龙江省哈六中 2013 届高三第二次模拟理)已知某几何体的三视图如图所示,则该几 何体的表面积等于( (A) ) (C) 64 ? 32 2 (D) 88 ? 8 2

160 3

(B)160

【答案】C 10.( 黑龙江省哈六中 2013 届高三第二次模拟理 )已知球 O 的直径 PQ ? 4 , A, B, C 是球 O 球面上的三点, ?ABC 是正三角形,且

?APQ ? ?BPQ ? ?CPQ ? 30? ,则三棱锥 P ? ABC 的体积为(

(A)

3 3 4

(B)

9 3 4

(C)

3 3 2

(D)

27 3 4

【答案】B (9)(黑龙江省大庆市 2013 届高三第二次模拟文)一个几何体的三视图如图所示,则该几

1

何体的表面积为

2 2

2 正视图 侧视图 俯视图

(A) 4 ? 2 2 【答案】 B

(B) 4 ? 4 2

(C) 8

(D) 2 ? 2 ? 5 ? 10

2

6.(黑龙江省哈师大附中 2013 届第三次高考模拟理)若一个四面体的四个面均为直角三角 形,正视图与俯视图如图所示均为直角 边为 1 的等腰直角三角形,则该几何体的侧视图的面积为 A.

1 4 1 2

B. 2

正视图

C.

D.

2 2

俯视图

【答案】C 9.(黑龙江省哈师大附中 2013 届第三次高考模拟理)四棱锥 P—A BCD,底面 ABCD 是边长为 6 的正方形,且 PA = PB = PC = PD,若一个半径为 1 的球与此四棱锥的各个面相切,则此 四棱锥的体积为 A.15 【答案】C 3.(黑龙江省教研联合体 2013 届高三第二次模拟理)若某几何体的三视图(图中单位:cm) 如图所示,则此几何体的体积是( ) 2 2 2 A. 36cm3 C. 60cm

3

B.24

C.27

D.30

B. 48cm3 D. 72cm

3

2 2 正视图 4 侧视图 第3题图

【答案】B

俯视图 9. (黑龙江省教研联合体 2013 届高三第二次模拟理)已知球的半径为 5,球面被互相垂直的

两个平面所截,得到两个圆的公共弦长为 2 3 ,若其中一个圆的半径为 4,则另一个圆的半 径为

2

A. 3 【答案】D

B. 10

C.

11

D. 2 3

8.(东北三校 2013 届高三第二次联合模拟文)三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是边长为 3 的正三 角形,侧棱 AA1⊥底面 ABC,若球 O 与各三棱柱 ABC-A1B1C1 各侧面、底面均相切,则侧棱 AA1 的长为 A.

1 2

B.

3 2

C.1

D. 3

【答案】C 10.(东北三校 2013 届高三第二次联合模拟文)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的 表面积为 A. 3 ? 3 2 C. 6 ? 6 2 【答案】B 二、填空题: 15.(东北三省三校 3 月高三第一次联合模拟理)已知某几何体的三视图如图,其中正视图 中半圆直径 为 2,则该几何体的体积为__________。 B. 8 ? 3 2 D. 11 ? 6 2

解析:由视图知:所求的几何体体积等于一个长方体的体积减去半个 圆柱的体积即:

1 3? V ? (1 ? 2 ? 1 ) ? 3 ? 2- ? ? ? 3=242 2

14.(黑龙江省哈六中 2013 届高三第二次模拟文)长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的各个顶点都在 体积为

32? 的球 O 的球面上, 其中 AA1 ? 2 , 则四棱锥 O-ABCD 的体积的最大值为 3

【答案】2

3

16.(黑龙江省哈六中 2013 届高三第二次模拟文)已知某几何体的三视图如图所示,则该几 何体的体积等于 【答案】 .

160 3

(16)(黑龙江省大庆市 2013 届高三第二次模拟文)正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的各顶点都 在 球 O 的球面上, 若三棱锥 O ? AB1 D1 的体积为 【答案】 4 3? 三、解答题: 19.(东北三省三校 3 月高三第一次联合模拟理)(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱 AA2⊥底面 ABC,∠ACB = 90°,E 是棱 CC1 上动点,F 是 AB 中点,AC = 1,BC = 2,AA1 = 4。 (1)当 E 是棱 CC1 中点时,求证:CF∥平面 AEB1; (2)在棱 CC1 上是否存在点 E,使得二面角 A—EB1—B 的余弦值是 若存在,求 CE 的长,若不存在,请说明理由。

2 , 则球 O 的体积为____________. 3

2 17 , 17

解析: (1)证明:取 AB1 的中点 G,联结 EG,FG ? F、G 分别是棱 AB、AB1 中点,

1 BB1 2 1 又? FG∥EC, EC ? CC1 , FG=EC 2 ? 四边形 FGEC 是平行四边形, ? CF / / EG ? CF ? 平面 AEB1, EG ? 平面 AEB1 ? CF / / 平面 AEB. ? FG / / BB1 , FG ?

(2)解: 以 C 为坐标原点,射线 CA,CB,CC1 为 x, y, z 轴正半轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 C ? xyz. 则 C(0,0,0) ,A(1,0,0) ,B1(0,2,4) 设 E (0, 0, m) (0 ? m ? 4) ,平面 AEB1 的法向量 n1 ? ( x, y, z ) .

……4 分 ……6 分

4

则 AB1 ? (?1, 2, 4) AE ? (?1,0, m) , 由 AB1 ? n1 , AE ? n1 得?

uuu r

uu u r

?? x ? 2 y ? 4 z ? 0 ?? x ? mz ? 0

……8 分

n1 ? (2m, m ? 4, 2)

? CA ? 平面 C1CBB1

? CA 是平面 EBB1 的法向量,则平面 EBB1 的法向量 n2 ? CA ? (1,0,0) ……10 分

? 二面角 A—EB1—B 的平 面角余弦值为

n ?n 2 17 ? cos ? n1 , n2 ?? 1 2 ? 17 n1 n2

2 17 , 17

2m

4m ? (m ? 4) 2 ? 4

2

解得 m ? 1(0 ? m ? 4)

? 在棱 CC1 上存在点 E,符合题意,此时 CE ? 1

(19)(黑龙江省哈六中 2013 届高三第二次模拟理)(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, BC ? 2 , BC1 ?

……12 分

2 , CC1 ? 2 , ?ABC 是以

BC 为底边的等腰三角形,平面 ABC ? 平面 BCC1 B1 , E , F 分别为棱 AB 、 CC1 的中点

(1)求证: EF

// 平面 A1 BC1 ;

( 2 ) 若 AC 为 整 数 , 且

EF 与 平 面 AC C 1A 1 所成的角的余弦值为

C ? AA1 ? B 的余弦值.

? ?CC1 B 是以 BC 19 解 (1) ?CC1 ? BC1 ? 2 , BC ? 2 ,

2 ,求二面角 3

为 斜 边 的 等 腰 直 角 三 角 形 , 取 BC 的 中 点 O , 连 接 AO, C1 O ,设 OA ? b ,则 AO ? BC, C1 O ? BC1 ? 面 ABC ? 面 BCC1 B1 ,且面 ABC? 面 BCC1 B1 ? BC , ? AO ? 面 BCC1 B1 , C1 O ? 面 ABC 以 O 为坐标原点,以 OC 、OC1 、OA 为 x, y, z 轴建立空间直角坐

z

O x

5

y

标系

? C (1,0,0), C1 (0,1,0), A(0,0, b), A1 (?1,1, b), B(?1,0,0)

1 b 1 1 1 b ? E(? ,0, ), F ( , ,0) ? BC1 ? (1,1,0), A1C1 ? (1,0,?b), EF ? (1, ,? ) 设平面 A1 BC1 的一个法向 2 2 2 2 2 2

量为 n ? (b,?b,1)

? n ? EF ,

b b ? n ? EF ? b ? ? ? 0 2 2

又 EF ? 面 A1 BC1 ? EF // 面 A1 BC1

...... 4

分 (2)设平面 ACC1 A1 的一个法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 又 CC1 ? (?1,1,0), AC ? (1,0,?b)

? ? CC1 ? n1 ? 0 ?? x1 ? y1 ? 0 则? ,? ,令 z 1 ? 1 ,则 n1 ? (b, b,1) x ? bz ? 0 ? A C ? n ? 0 1 1 ? ? 1 1 1

1 b 又 EF ? (1, ,? ) 2 2

? cos ? n1 , EF ? ? n1 ? EF n ? EF

=

b 5 b 2b ? 1 ? 4 4

2 2

?

2 3

...... 6 分

解得 b ? 1, 或 b ? 所以 n 1 ? (1,1,1)

? cos ? n1 , n 2 ??

10 , ? AC 为整数 ? b ? 1 2

...... 8 分

同理可求得平面 AA1 B 的一个法向量 n2 ? (1,1,?1)

n1 ? n 2 | n1 | ? | n 2 |

=

1 3

......11 分

又二面角 C ? AA1 ? B 为锐二面角, 故余弦值为 分

1 3

......12

(19)(黑龙江省哈六中 2013 届高三第二次模拟文)(本小题满分 12 分)

? 如图,三棱柱 ABC C 中 1A 1B 1

, 侧 棱 与 底 面 垂 直 , AB ? BC ,

AB ? BC ? BB1 ? 2 , M , N 分别是 AB, A1C 的中点

(Ⅰ)求证: MN ∥平面 BCC1 B1 ; (Ⅱ)求证: MN ⊥平面 A1B1C ; (Ⅲ)求三棱锥的体积 M ? A1B1C 的体积. 19.(1)证明:连结 BC1 , AC1 ,显然 AC1 过点 N

6

∵ M , N 分别是 AB, A1C 的中点,

∴ MN ∥ BC1 ∴ MN ∥平面 BCC1 B1

又 MN ? 平面 BCC1 B1 , BC1 ? 平面 BCC1 B1

(2)证明:∵三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱与底面垂直, BC ? BB1 ∴四边形 BCC1 B1 是正方形 由(1)知 MN ∥ BC1 ∴ BC1 ? B1C ,

∴ MN ⊥ B1C

连结 A1 M , CM ,由 AM ? MB, BC ? BB1 ? AA 1 知 ?AMA 1 ? ?BMC ∴ A1 M ? CM ,又易知 N 是 A1C 的中点, ∴ MN ? A1C , ∴ MN ⊥平面 A1B1C (3)因为 AB ∥ A1 B1 ,所以三棱锥 M ? A1 B1C 与三棱锥 B ? A1 B1C 的体积相等, 故 VM ? A1B1C ? VB ? A1B1C ? V A1 ?CB1B ?

4 3

A1 D B1

C1

(18)(黑龙江省大庆市 2013 届高三第二次模拟文)(本小题满分 12 分)

D 为棱 AA 已知侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的所有棱长都相等, 1 中点. A

(I)证明: BC1 ? DB1 ; (II)在线段 BC 上是否存在点 E ,使 DE ∥平面 BA 1C1 ,若存在,确定 点 E 的位置;若不存在,请说明理由. (18) (本小题满分 12 分) 解: (I)连结 B1C ,设 BC1

E B

C

A1 D B1 F A B

C1

B1C ? F ,连结 DF, DB, DC1 ,

∵四边形 BCC1 B1 是正方形, ∴ BC1 ? B1C 且 F 为 BC1 的中点. …………2 分 由题意知 Rt?DA1C1 ? Rt?DAB , ∴ DB ? DC1 ,∴ BC1 ? DF . …………4 分

C E

又∵ DF, B1C ? 平面 B1 DC , DF ? B1C ? F ,

7

∴ BC1 ? 平面 B1 DC . …………6 分 ∵ DB1 ? 平面 B1 DC ,∴ BC1 ? DB1 . ……………………………………7 分 …………………………8 分

(II)存在点 E 为 BC 的中点,使 DE / / 平面 BAC 1 1. 连接 EF, A1 F , EF

1 CC1 , A1 D 2

1 CC1 ,∴ EF ∥ A1 D , 2

………………………………10 分

∴四边形 EFA 1 D 为平行四边形,∴ A1 F ∥ DE .

∵ A1 F ? 平面 BA 1C1 , DE ? 平面 BA 1C1 ,∴ DE ∥平面 BA 1C1 . ………………12 分 19. (黑龙江省哈师大附中 2013 届第三次高考模拟理) (本小题满分 12 分) 在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,侧棱 CC1⊥底面 ABC,∠ B B1 O A (2)求直线 BC 与平面 ABC1 所成角的正弦值。 19. 法一: (Ⅰ)证明:取 AB 中点 M ,连结 CM , A1 C C1

ACB = 90°,且 AC = BC = CC1,O 为 AB1 中点。

(1)求证:CO⊥平面 ABC1;

AC ? BC ? CM ? AB. 又 CM ? BB1 , AB

BB1 ? B ? CM ? 面 A1 ABB1 ,

以 MA, MO, MC 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系, 设 AC ? BC ? CC1 ? a ,

M (0,0,0) A(

2 2 2 a, 0, 0) , B(? a, 0, 0) , C (0, 0, a) 2 2 2

a 2 a 2 O (0, , 0) , C1 (0, a, a) ? CO ? (0, , ? a) , 2 2 2 2

AB ? (? 2a,0,0,)

, AC1 ? (?

2 2 a, a, a) 2 2

8

CO AB ? 0 ? 0 ? 0 ? 0

? CO ? AB, CO ? AC1 , AB

? CO ? 平面 ABC1

,

CO AC1 ? 0 ?

a2 a2 ? ?0 2 2

AC1 ? A, 又

AB, AC1 ? 平面 ABC1 ,

6?

(Ⅱ)解:由已知 CO 为平面 ABC1 的一个法向量, CB ? (?

2 2 a, 0, ? a) 2 2

1 2 a 3 , cos?CB, CO? ? ? 2 ? ? 直线 BC 与平面 ABC1 所成角的正弦值 3 3 CB CO a?a 2 CB CO

3 3

12?

法二: (Ⅰ)证明:取 AB 中点 M ,连结 CM , OM ,

AC ? BC ? CM ? AB. ,

OM // BB1 ,?OM ? AB, OM

CM ? M , OM , CM ? 平面 OCM ,

? AB ? 平面 OCM ,? AB ? CO ,

连结 CA1 ,

BC ? AC, BC ? CC1 ,? BC ? 平面 A1 ACC 1 ,

且 AC1 ? 平面 A 1 ACC1 ,? BC ? AC1 , 又

AC ? AC1 ,且 AC 1 1

BC ? C , AC 1 , BC ? 平面 A 1BC ,

? AC1 ? 平面 A1BC , CO ? 平面 A1BC , ?CO ? AC1 , AB

6?

(Ⅱ)解:连结 MC1 交 CO 于 N ,连结 BN ,

AC1 ? A , 又

AB, AC1 ? 平 面 ABC1 , ? CO ? 平 面 ABC1

CO ? 面 ABC1 ,??CBN 为 BC 与平面 ABC1 所成的角,

令 AC ? BC ? CC1 ? a ,

9

在 Rt C1CM 中, C1C ? a, CM ?

2 6 a,? MC1 ? a, 2 2

2 a?a 3 ? a, CN ? MC1 ?CN ? MC1 ? CM ? CC1 , ? CN ? 2 3 6 a 2

3 a CN 3 3 ? ? CB ? a ,? Rt CBN 中, sin ?CBN ? , CB a 3

? 直 线

12?

BC

ABC1

3 3

19.(东北三校 2013 届高三第二次联 合模拟文)(本小题满分 12 分) 已知四边形 ABCD 为平行四边形,BC⊥平面 ABE,AE⊥BE,BE = BC = 1,AE = 为线段 AB 的中点,N 为线段 DE 的中点,P 为线段 AE 的 中点。 (1)求证:MN⊥ EA; (2)求 四棱锥 M – A DNP 的体积。 19.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) AE ? BE, MP // BE ? MP ? AE ……

3 ,M

2分 又 BC ? 平面 ABE , AE ? 平面 ABE ,? BC ? AE ? N 为 DE 的中点, P 为 AE 的中点,? NP // AD ,

E P A N M B

? AD // BC ,? NP // BC , ? NP ? AE ,

……4 分

NP MP ? P, NP, MP ? 平面 PMN

D C

? AE ? 平面MNP,? MN ? 平面MNP,? AE ? MN

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 MP ? AE ,且 MP ?

1 1 BE ? 2 2

……6 分

10

AD // BC,? AD ? 平面ABE , ? MP ? 平面 ABE , ? AD ? MP ,

? AD ? AE ? A, AD, AE ? 平面ADNP , ?MP ? 平面 ADNP

……8 分

AD // BC,? AD ? 平面ABE , ? AD ? AP ,

又 ? NP // AD , ?四边形ADNP 为直角梯形

1 3 ( ? 1) ? 2 ? 3 3 , MP ? 1 , ? 2 2 8 2

……10 分

? S 梯ADNP

1 1 3 3 1 3 ? 四棱锥 M ? ADNP的体积 V ? S ADNP ? MP ? ? ? ? 3 3 8 2 16

……12 分

11


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