黑龙江省各地市高考数学 最新联考试题分类汇编(8)立体几何

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黑龙江省各地市 高考数学最新联考试题分类汇编(8)立体几何

一、选择题:

10.(东北三省三校 3月高三第一次联合模拟理)点在同一个球的球面上,

若四面体体积的最大值为,则这个球的表面积为( )

A. 3 B. C. D.

解析:

是直角三角形,

的外接圆的圆心在边如图所示,若使四面体体积的最大值只需使点平面的距离最大,又平面,所以点是直线与球的交点最大。

设球的半径为,则由体积公式有:

中, ,解得:

,故选C

4.(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟理)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( )

(A) (B)160 (C) (D)

【答案】C

10.(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟理)已知球的直径是球球面上的三点,是正三角形,且

,则三棱锥的体积为( )

(A) (B) (C) (D)

【答案】B

(9)(黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟文)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为

2

2

2

俯视图

侧视图

正视图

2(A) (B) (C) (D)

【答案】B

6.(黑龙江省哈师大附中2013届第三次高考模拟理)若一个四面体的四个面均为直角三角形,正视图与俯视图如图所示均为直角

边为1的等腰直角三角形,则该几何体的侧视图的面积为

A.

B.

C.

D.

【答案】C

9.(黑龙江省哈师大附中2013届第三次高考模拟理)四棱锥P—ABCD,底面ABCD是边长为6的正方形,且PA = PB = PC = PD,若一个半径为1的球与此四棱锥的各个面相切,则此四棱锥的体积为

A.15

B.24

C.27

D.30

【答案】C

3.(黑龙江省教研联合体2013届高三第二次模拟理)若某几何体的三视图(图中单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是( )

A. B.

C. D.

【答案】B

9. (黑龙江省教研联合体2013届高三第二次模拟理)已知球的半径为5,球面被互相垂直的两个平面所截,得到两个圆的公共弦长为,若其中一个圆的半径为4,则另一个圆的半径为

A. B. C. D.

【答案】D

8.(东北三校2013届高三第二次联合模拟文)三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为的正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,若球O与各三棱柱ABC-A1B1C1各侧面、底面均相切,则侧棱AA1的长为

A.

B.

C.1

D.

【答案】C

10.(东北三校2013届高三第二次联合模拟文)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为

A.

B.

C.

D.

【答案】B

二、填空题:

15.(东北三省三校 3月高三第一次联合模拟理)已知某几何体的三视图如图,其中正视图中半圆直径为2,则该几何体的体积为__________。

解析:由视图知:所求的几何体体积等于一个长方体的体积减去半个圆柱的体积即:

14.(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟文)长方体的各个顶点都在体积为的球O 的球面上,其中,则四棱锥O-ABCD 的体积的最大值为 .

【答案】2

16.(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟文)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于 .

【答案】

(16)(黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟文)正方体的各顶点都在的球面上,若三棱锥的体积为,则球的体积为____________.

【答案】

三、解答题:

19.(东北三省三校 3月高三第一次联合模拟理)(本小题满分12分)

如图,三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱AA2⊥底面ABC,∠ACB = 90°,E是棱CC1上动点,F是AB中点,AC = 1,BC = 2,AA1 = 4。

(1)当E是棱CC1中点时,求证:CF∥平面AEB1;

(2)在棱CC1上是否存在点E,使得二面角A—EB1—B的余弦值是,若存在,求CE的长,若不存在,请说明理由。

解析:(1)证明:取AB1的中点G,联结EG,FG

F、G分别是棱AB、AB1中点,

FG∥EC,, FG=EC 

四边形FGEC是平行四边形,

……4分

CF平面AEB1,平面AEB1

平面AEB. ……6分

(2)解:以C为坐标原点,射线CA,CB,CC1为轴正半轴,

建立如图所示的空间直角坐标系

则C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,4)

,平面AEB1的法向量.

,

……8分

平面

是平面EBB1的法向量,则平面EBB1的法向量 ……10分

二面角A—EB1—B的平面角余弦值为

解得

在棱CC1上存在点E,符合题意,此时 ……12分

(19)(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟理)(本小题满分12分)

如图,三棱柱中,是以为底边的等腰三角形,平面平面分别为棱的中点

(1)求证:平面

(2)若为整数,且与平面所成的角的余弦值为,求二面角的余弦值.

19解(1)是以为斜边的等腰直角三角形, 取的中点,连接,设,则

,且面

为坐标原点,以轴建立空间直角坐标系

设平面的一个法向量为

, 又 ...... 4分

(2)设平面的一个法向量为

,令,则

= ...... 6分

解得为整数 ...... 8分

所以 同理可求得平面的一个法向量

= ......11分

又二面角为锐二面角,故余弦值为 ......12分

(19)(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟文)(本小题满分12分)

如图,三棱柱中,侧棱与底面垂直,分别是的中点

(Ⅰ)求证:∥平面

(Ⅱ)求证:⊥平面

(Ⅲ)求三棱锥的体积的体积.

19.(1)证明:连结,显然过点

分别是的中点, ∴

平面,平面∥平面

(2)证明:∵三棱柱中,侧棱与底面垂直,

∴四边形是正方形 ∴,

由(1)知

连结,由

,又易知的中点, ∴,

⊥平面

(3)因为,所以三棱锥与三棱锥的体积相等,

(18)(黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟文)(本小题满分12分)

已知侧棱垂直于底面的三棱柱的所有棱长都相等,为棱中点.

)证明:

)在线段上是否存在点,使∥平面,若存在,确定点的位置;若不存在,请说明理由.

(18)(本小题满分12分)

解:()连结,设,连结

∵四边形是正方形,

的中点. …………2分

由题意知

,∴. …………4分

又∵平面

平面. …………6分

平面,∴. ……………………………………7分

)存在点的中点,使平面. …………………………8分

连接, ,∴

∴四边形为平行四边形,∴. ………………………………10分

平面平面,∴∥平面. ………………12分

19.(黑龙江省哈师大附中2013届第三次高考模拟理)(本小题满分12分)

在三棱柱ABC—A1B1C1中,侧棱CC1⊥底面ABC,∠ACB = 90°,且AC = BC = CC1,O为AB1中点。

(1)求证:CO⊥平面ABC1;

(2)求直线BC与平面ABC1所成角的正弦值。

19. 法一:

(Ⅰ)证明:取中点,连结,

,,

分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,

,

, 平面,

平面

(Ⅱ)解:由已知为平面的一个法向量,

直线与平面所成角的正弦值为

法二:(Ⅰ)证明:取中点,连结,

,

平面,

平面, ,

连结,平面,

平面,

,且,平面,

平面,平面,

,又平面,平面

(Ⅱ)解:连结,连结,

与平面所成的角,

中,

,中,

直线与平面所成角的正弦值为

19.(东北三校2013届高三第二次联合模拟文)(本小题满分12分)

已知四边形ABCD为平行四边形,BC⊥平面ABE,AE⊥BE,BE = BC = 1,AE =,M为线段AB的中点,N为线段DE的中点,P为线段AE的中点。

(1)求证:MN⊥EA;

(2)求四棱锥M – ADNP的体积。

19.(本小题满分12分)

解: (Ⅰ) ……2分

平面平面

的中点,的中点,

……4分

平面

……6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,且

,,,

, ……8分

,

为直角梯形 ……10分

,

四棱锥的体积 ……12分

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