江苏省南京物理竞赛讲义-10.6光学例题

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10.6费马原理 光学例题

费马原理:

光线在两点间的实际路径是使所需的传播时间为极值的路径。在大部分情况下,此极值为极小值。

i i i

x t t v ==∑∑ i i

c n v = 可得:i i n x t c

=∑ 我们定义折射率与路径长的乘积为光程,用l 表示,l nx =,于是,费马原理又可表述为:光线在两点之间的实际路径,是使光程为极值的路径.

例1、如图所示,湖中有一小岛A ,A 与直

湖岸的距离为d ,湖岸边的一点B ,B 沿湖岸方

向与A 点的距离为l ,一人自A 点出发,要到达B 点。已知他在水中游泳的速度为v 1,在岸上走的速度为v 2,且v 1【解析】根据费马原理,若要人由A 到B 的时间最短,则所走路径应类似于光线所走路径.

这时的水和岸相当于介质,折射率分别为n 1、n 2.设最短时间为如图所示路径.则等效光线由水到岸满足下式:

1221

sin sin 90v n C v n == 12

sin v i v =

l

这时的C 实际上为光线发生全反射的临界角.

所以,我们不难得到:

当tan l d C >时,人所走的路径为如图所示的路径.即沿着和垂直于岸的方向成C 的角度游向岸边再在岸上走至B 点.

当tan l d C ≤时,人由A 直接游到B 点.

【点评】本题若从运动学角度分析,也可以作出解答,但比较麻烦.

例1. 一曲率半径R=60cm 的凹面镜水平放置,使其凹面向上,并在其中装满水,水的折射率为43

n =,假如装满水后水的的深度比半径R 小得多,试问平行光束成像于何处?

【解析】法一:直接用折射定律和反射定律来做,未装水时,平行光束经镜面反射后通过焦点F ′,它离开镜面顶点的距离为30cm,若装有水,当α、β为小角度,由图可知:

图16- 1

2tan sin a a f R

αα=== tan sin a f ββ==

,由折射定律:

sin sin 2R n f

βα== 22.52R f cm n

== 法二:用逐次成像法,物体先经过平面折射成像:

11

s s -= 再经球面反射成像:

22112's s R

+=- 由于是水很浅,所以:

21's s =

令1s →∞可得:2'2

R s =-

再经平面折射:

33

10'n s s -= 32's s = 3''22.52R f s cm n

d 26.如图所示,在焦距f=0.15m 的凸透镜L 主轴上有一小光源S ,凸透镜L 另一侧有两个反射面相向放置的平面镜OM 1和OM 2.平面镜OM 1和OM 2彼此垂直,且与透镜L 主轴成450,两平面镜的交线与透镜主轴垂直.已知小光源中心到两平面镜的交线距离SO=O.9m ,透镜到两平面镜的交线距离O 1O=O.3m ,试求:

(1)小光源S 在透镜主轴上共成多少个像?

(2)小光源S 在透镜主轴外共成多少个像?


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