江苏省海安高级中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷Word版含答案

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江苏省海安高级中学2015-2016学年高一数学期中试卷

编制:王忠

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

1.设,则 ▲ .

【答案】[2,3]

2.已知函数的图像过点,则 ▲ .

【答案】-5

3.若,则m= ▲ .

【答案】

4.设a,b,c都是不等于1的正数,且ab≠1,则.(填>、=、<)

【答案】=

5.若函数在区间上的最大值与最小值之和为3,则实数a的值为

▲ .

【答案】2

6.若函数的图像经过第一、二、三象限,则实数m的取值范围是 ▲ .

【答案】

7.函数的定义域为 ▲ .

【答案】

8. 若方程的一个根在区间上,另一根在区间上,则实数m的取值范围为 ▲ .

【答案】-4<m<-2

9. 某车站有快、慢两种车,始发站距终点站km,慢车到终点站需,快车比慢车晚发车,且行驶后到达终点站.则两车相遇时距始发站 ▲ km.

【答案】3.6

10.设,则使为奇函数且在上单调递减的值为

▲ .

【答案】-1

11.设集合,若M是的子集,把M中所有元素的和称为M的“容量”(规定空集的容量为0),若M的容量为奇(偶)数,则称M为的奇(偶)子集.当n=4时,所有奇子集的个数为 ▲ .

【答案】8

12.给定,定义函数f:满足:对任意大于k的正整数n,.设k=2,且n≤2时,,则不同的函数f的个数为 ▲ .

【答案】4

13.设,且,从A到Z的两个函数.若对于A中的任意一个x,都有,则满足条件的集合A有 ▲ 个.

【答案】3

14.已知函数,函数.若函数恰好有2个不同的零点,则实数a的取值范围为 ▲ .

【答案】

二、解答题:本大题共6小题,计90分.请在答题卡指定的区域内作答,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分14分)

设全集是实数集R,集合

(1)若,求实数m的取值范围;

(2)若,求

【答案】

(1) 若,则有m-1≥3或m+1≤-1

即m≥4或m≤-2

所以m的取值范围为m≥4或m≤-2.

(2) ∵

∴0<m<4

当0<m≤1时,

当1<m<4时,

16.(本小题满分14分)

已知关于x的不等式组

(1)求解不等式②;

(2)若此不等式组的整数解集M中有且只有一个元素,求实数k的取值范围及相应的集合M.

【答案】

(1)由②得

∴当时,

时,

时,

(2)由①得

时,整数解集M只能为

则应满足,即

时,整数解集M只能为

则应满足足时,即

综上所述:当时,

时,

17.(本小题满分14分)

小张在淘宝网上开一家商店,他以10元每条的价格购进某品牌积压围巾2000条.定价前,小张先搜索了淘宝网上的其它网店,发现:A商店以30元每条的价格销售,平均每日销售量为10条;B商店以25元每条的价格销售,平均每日销售量为20条.假定这种围巾的销售量t(条)是售价x(元)()的一次函数,且各个商店间的售价、销售量等方面不会互相影响.

(1)试写出围巾销售每日的毛利润y(元)关于售价x(元)()的函数关系式(不必写出定义域),并帮助小张定价,使得每日的毛利润最高(每日的毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价);

(2)考虑到这批围巾的管理、仓储等费用为200元/天(只要围巾没有售完,均须支付200元/天,管理、仓储等费用与围巾数量无关),试问小张应该如何定价,使这批围巾的总利润最高(总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用)?

【答案】

设t=kx+b,∴,解得k=-2,b=70,∴t=70-2x.

(1)

时,即围巾定价为22元或23元时,每日的利润最高.

(2) 设售价x(元)时总利润为z(元),

元.

时,即x=25时,取得等号.

故小张的这批围巾定价为25元时,这批围巾的总利润最高.

18.(本小题满分16分)

已知函数

(1)若的定义域和值域均为,求实数a的值;

(2)若函数在区间上是减函数,且对任意的,总有成立,求实数a的取值范围;

(3)若函数在区间上有零点,求实数a的取值范围.

【答案】

(1)对称轴为x=a,所以时,为减函数;

∴a=2

(2) 因为上为减函数,所以对称轴x=a≥2,所以a≥2;

,所以

则对任意

∴-1≤a≤3

又a≥2

∴2≤a≤3

(3)∵上有零点

上有实数解

上有实数解

19.(本小题满分16分)

在平面直角坐标系xOy中,已知函数(n>1)的图像上的两点A,B,过A,B作x轴的垂线,垂足分别为(b>a>1),线段BN,AM分别与函数(m>n>1)的图像交于点C,D,且AC与x轴平行.

(1)当a=2,b=4,n=3时,求四边形ABCD的面积;

(2)当时,直线BD经过点,求实数a的值;

(3)已知,若为区间内任意两个变量,且

求证:

【答案】

(1) 由题意得

因为AC与x轴平行

所以

所以m=9

(2) 由题意得

∵AC与x轴平行

,∴

∵直线BD经过点

∴a=3

(3) 证明:因为,且

所以

又因为

所以

又因为

所以

所以

所以

20.(本小题满分16分)

已知函数,若在定义域内存在,使得成立,则称为函数的局部对称点.

(1)若a、且a≠0,证明:函数必有局部对称点;

(2)若函数在定义域内有局部对称点,求实数c的取值范围;

(3)若函数在R上有局部对称点,求实数m的取值范围.

【答案】

(1)由

代入得,

得到关于x的方程),

其中,由于,所以恒成立

所以函数)必有局部对称点

(2)方程在区间上有解,于是

),

其中

所以

(3)

由于,所以

于是(*)在R上有解

),则

所以方程(*)变为在区间内有解,需满足条件:

化简得

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