2018届中考数学复习《旋转问题》专项训练

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2018年中考数学题型专项训练:旋转问题

1.如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(0,2),△A B O为等边三角形,P是x轴上的一个动点(不与O点重合),将线段A P绕A点按逆时针方向旋转60°,P点的对应点为点Q.

(Ⅰ)求点B的坐标;

(Ⅱ)当点P在x轴负半轴运动时,求证:∠A B Q=90°;

(Ⅲ)连接O Q,在点P运动的过程中,当O Q平行A B时,求点P的坐标

.

第1题图解:(Ⅰ)如解图①,过点B作B C⊥x轴于点C,∵△A O B为等边三角形,且O A=2,

∴∠A O B=60°,O B=O A=2,

∴∠B O C=30°,而∠O C B=90°,

(Ⅱ)∵△A P Q、△A O B均为等边三角形,

∴A P=A Q,A O=A B,∠P A Q=∠O A B,

∴∠P A O=∠Q A B,

在△A P O与△A Q B中,

AP AQ

PAO QAB AO AB

?

?

?

?

?

=

=

=

,

∴△A P O≌△A Q B,

∴∠A B Q=∠A O P=90°;

(Ⅲ)当点P在x轴正半轴上时,

∵∠O A B=60°,

∴将A P绕点A逆时针旋转60°时,点Q在点B上方,

∴O Q和A B必相交,

当点P在x轴负半轴上时,点Q在点B的下方,

∵A B∥O Q,∠B Q O=90°,∠B O Q=∠A B O=60°.

在R t△B O Q中,O B=2,∠O B Q=90°-∠B O Q=30°,

由(Ⅱ)可知,△A P O≌△A Q B,

图①图②

第1题解图

2.在直角坐标系中,O A=C D,O B=O D,C D⊥x轴于D,E、F分别是O B、O D中点,连接

E F交A C于点G.

(Ⅰ)如图①,若点A的坐标为(-2,0),S△O C D=5,求点B的坐标;

(Ⅱ)如图②,当O B=2O A时,求证:点G为A C的中点;

(Ⅲ)如图③,当O B>2O A,△A B O绕原点O顺时针旋转α(0°<α<45°),(Ⅱ)中的结论是否还成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.

第2题图

解:(Ⅰ)∵A(-2,0),

∴O A=2,

∵C D⊥O D,C D=O A=2,

又∵S△O C D=5,

∴O D=5,

∴O B=O D=5,

∴B(0,5);

(Ⅱ)如解图①,连接E C、A E、C F.

∵O B=2O A,C D=O A,O D=O B,

∵E B=E O,O F=D F,

∴O E∥C D,O E=C D,

∴四边形O E C D是平行四边形,

∴E C=O D,

∵A F=O D=E C,

∴E C=A F,E C∥A F,

∴四边形A E C F是平行四边形,

∴A G=C G,即点G为A C的中点;

(Ⅲ)成立.

理由:如解图②,连接A E、C F,在F E上取一点H,使得C H=C F.

∵O B=O D,O E=E B,O F=D F,

∴O E=D F,∵∠A O E=∠F D C,O A=C D,

∴△A O E≌△C D F,

∴A E=C F=C H,∠A E O=∠C F D,

∵O E=O F,

∴∠O E F=∠O F E,

∵∠A E G=∠A E O+∠O E F,∠C H G=180°-∠C H F=180°-∠C F H=180°-(180°-∠O F E-∠C F D)=∠O F E+∠C F D,

∴∠A E G=∠C H G,

∵∠A G E=∠C G H,

∴△A E G≌△C H G,

∴A G=C G,即点G为A C的中点.

图①图②

第2题解图

3.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(-8,0),直线B C经过点B(-8,6),C(0,6),将四边形O A B C绕点O按顺时针方向旋转角度α得到四边形O A′B′C′,此时边O A′与边B C交于点P,边B′C′与B C的延长线交于点Q,连接A P. (Ⅰ)求证:四边形O A B C是矩形;

(Ⅱ)在旋转过程中,当∠P A O=∠P O A,求P点坐标.

(Ⅲ)在旋转过程中,当P为线段B Q中点时,连接O Q,求△O P Q的面积.

第3题图

(Ⅰ)证明:∵点A 的坐标为(-8,0),点B (-8,6),C (0,6), ∴∠C O A =∠O A B =∠B =90°, ∴四边形O A B C 是矩形.

(Ⅱ)解:如解图①,过点P 作P E ⊥A O 于点E , ∵∠P A O =∠P O A , ∴P A =P O , ∵P E ⊥A O , ∴A E =E O =4, ∴P (-4,6);

(Ⅲ)解:如解图②,在R t △O C Q 和R t △O C 'Q 中,

CO CO

OQ OQ

???==, ∴R t △O C Q ≌R t △O C 'Q ,∴∠O Q C =∠O Q C ', 又∵O P ∥C 'Q , ∵∠P O Q =∠O Q C ',

∴∠P O Q =∠P Q O ,∴P O =P Q , ∵B P =Q P ,∴B P =O P =x ,


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