第2讲 直接证明与间接证明

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第2讲直接证明与间接证明

一、选择题

1.若a,b∈R,则下面四个式子中恒成立的是()

A.lg(1+a2)>0

B.a2+b2≥2(a-b-1)

C.a2+3ab>2b2

D.a

b<

a+1 b+1

解析在B中,∵a2+b2-2(a-b-1)=(a2-2a+1)+(b2+2b+1)=(a-1)2+(b +1)2≥0,∴a2+b2≥2(a-b-1)恒成立.

答案 B

2.用反证法证明命题:“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时,应假设()

A.三个内角都不大于60°

B.三个内角都大于60°

C.三个内角至多有一个大于60°

D.三个内角至多有两个大于60°

答案 B

3.已知m>1,a=m+1-m,b=m-m-1,则以下结论正确的是()

A.a>b

B.aC.a=b

D.a,b大小不定

解析∵a=m+1-m=

1

m+1+m

,

b=m-m-1=

1

m+m-1

.

而m+1+m>m+m-1>0(m>1),

1

m+1+m

<

1

m+m-1

,即a答案 B

4.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a>b>c,且a+b+c=0,求证b2-ac<3a”索的因应是()

A.a-b>0

B.a-c>0

C.(a-b)(a-c)>0

D.(a-b)(a-c)<0

解析由题意知b2-ac<3a?b2-ac<3a2

?(a+c)2-ac<3a2

?a2+2ac+c2-ac-3a2<0

?-2a2+ac+c2<0

?2a2-ac-c2>0

?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0.

答案 C

5.①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2;②已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1,用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1.以下正确的是()

A.①与②的假设都错误

B.①与②的假设都正确

C.①的假设正确;②的假设错误

D.①的假设错误;②的假设正确

解析反证法的实质是否定结论,对于①,其结论的反面是p+q>2,所以①不正确;对于②,其假设正确.

答案 D

二、填空题

6.6+7与22+5的大小关系为________.

解析要比较6+7与22+5的大小,

只需比较(6+7)2与(22+5)2的大小,

只需比较6+7+242与8+5+410的大小,

只需比较42与210的大小,只需比较42与40的大小,∵42>40,∴6+7>22

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第2讲 一、选择题 直接证明与间接证明 1.若 a,b∈R,则下面四个式子中恒成立的是( A.lg(1+a2)>0 C.a2+3ab>2b2 解析 ) B.a2+b2≥2(a-b-1) a a+1 D.b< b+1 在 B 中,∵a2+b2-2(a-b-1)=(a2-2a+1)+(b2+2b+1)=(a-1)2+(b +1)2≥0,∴a2+b2≥2(a-b-1)恒成立. 答案 B 2.用反证法证明命题:“三角形三个内角至少有一个不大于 60°”时,应假设 ( ) A.三个内角都不大于 60° B.三个内角都大于 60° C.三个内角至多有一个大于 60° D.三个内角至多有两个大于 60° 答案 B ) 3.已知 m>1,a= m+1- m,b= m- m-1,则以下结论正确的是( A.a>b C.a=b 解析 ∵a= m+1- m= 1 m+ m-1 1 B.a<b D.a,b 大小不定 , m+1+ m . b= m- m-1= 而 ∴ m+1+ m> m+ < m+1+ m m+ B 1 1 m-1>0(m>1), ,即 a<b. m-1 答案 4.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设 a>b>c,且 a+b+c=0, 求证 b2-ac< 3a”索的因应是( ) A.a-b>0 C.(a-b)(a-c)>0 解析 由题意知 B.a-c>0 D.(a-b)(a-c)<0 b2-ac< 3a?b2-ac<3a2 ?(a+c)2-ac<3a2 ?a2+2ac+c2-ac-3a2<0 ?-2a2+ac+c2<0 ?2a2-ac-c2>0 ?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0. 答案 C 5.①已知 p3+q3=2,求证 p+q≤2,用反证法证明时,可假设 p+q≥2;②已 知 a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程 x2+ax+b=0 的两根的绝对值都小于 1, 用反证法证明时可假设方程有一根 x1 的绝对值大于或等于 1,即假设|x1|≥1. 以下正确的是( ) A.①与②的假设都错误 B.①与②的假设都正确 C.①的假设正确;②的假设错误 D.①的假设错误;②的假设正确 解析 反证法的实质是否定结论,对于①,其结论的反面是 p+q>2,所以① 不正确;对于②,其假设正确. 答案 D 二、填空题 6. 6+ 7与 2 2+ 5的大小关系为________. 解析 要比较 6+ 7与 2 2+ 5的大小, 只需比较( 6+ 7)2 与(2 2+ 5)2 的大小, 只需比较 6+7+2 42与 8+5+4 10的大小, 只需比较 42与 2 10的大小, 只需比较 42 与 40 的大小, ∵42>40, ∴ 6+ 7>2 2 + 5. 答案 6+ 7>2 2+ 5 7.用反证法证明命题“a,b∈R,ab 可以被 5 整除,那么 a,b 中至少有一个能 被 5 整除”,那么假设的内容是__________________. 答案 都不能被 5 整除 b a 8.下列条件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0,其中能使a+b≥2 成立的条件的序号是________. b a b 解析 要使a+b≥2,只需a>0 成立,即 a,b 不为 0 且同号即可,故①③④能 b a 使a+b≥2 成立. 答案 ①③④ 三、解答题 9.若 a,b,c 是不全相等的正数,求证: a+b b+c c+a lg 2 +lg 2 +lg 2 >lg a+lg b+lg c


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