2011届高三一轮测试(文)9直线、平面、简

来源:互联网 由 时列会下 贡献 责任编辑:王小亮  

直线、平面、简单几何体(A、B)

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【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答,共150分,考试时间120分钟.

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.平面α外的一条直线a与平面α内的一条直线b不平行,则

(  )

A.a∥\\α

B.a∥α

C.a与b一定是异面直线

D.α内可能有无数条直线与a平行

2.正方体的表面积是a2,它的顶点都在一个球面上,则这个球的表面积是

(  )

A.          B.

C.2πa2 D.3πa2

3.若正四棱柱的对角线与底面所成的角的余弦值为,且底面边长为2,则高为

(  )

A.1 B.2

C.3 D.4

4.已知直线m⊥平面α,直线n?平面β,则下列命题正确的是

A.若α∥β,则m⊥n B.若α⊥β,则m∥n

C.若m⊥n,则α∥β D.若n∥α,则α∥β

5.将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120°的二面角,点C到达点C1,这时异面直线AD与BC1所成的角的余弦值是

(  )

A. B.

C. D.

6.设有三个命题,

甲:底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体;

乙:底面是矩形的平行六面体是长方体;

丙:直四棱柱是直平行六面体.

以上命题中,真命题的个数有

(  )

A.0个 B.1个

C.2个 D.3个

7.如图,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O′A′=6 cm,O′C′=2 cm,则原图形是

(  )

A.正方形 B.矩形

C.菱形 D.一般的平行四边形

8.若正三棱锥的侧面都是直角三角形,则侧面与底面所成二面角的余弦值是(  )

A. B.

C. D.

9.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离为

(  )

A. B.

C. D.

10.已知m,n为不同的直线,α,β为不同的平面,下列四个命题中,正确的是(  )

A.若m∥α,n∥α,则m∥n

B.若m?α,n?α,且m∥β,n∥β,则α∥β

C.若α⊥β,m?α,则m⊥β

D.若α⊥β,m⊥β,m?α,则m∥α

11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M、N分别是棱DD1、D1C1的中点,则直线OM

(  )

A.和AC、MN都垂直

B.垂直于AC,但不垂直于MN

C.垂直于MN,但不垂直于AC

D.与AC、MN都不垂直

12.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在

(  )

A.直线AB上

B.直线BC上

C.直线AC上

D.△ABC内部

第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)

题 号

第Ⅰ卷

第Ⅱ卷

总 分

17

18

19

20

21

22

得 分

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)

13.若正三棱锥底面的边长为a,且每两个侧面所成的角均为90°,则底面中心到侧面的距离为________.

14.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点E为AA1的中点,在对角面BB1D1D上取一点M,使AM+ME最小,其最小值为________.

15.a,b,c是空间中互不重合的三条直线,下面给出五个命题:

①若a∥b,b∥c,则a∥c;

②若a⊥b,b⊥c,则a∥c;

③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;

④若a?平面α,b?平面β,则a,b一定是异面直线;

⑤若a,b与c成等角,则a∥b.

上述命题中正确的________(只填序号).

16.如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论中:

①PB⊥AE;②平面ABC⊥平面PBC;③直线BC∥平面PAE;④∠PDA=45°.

其中正确的有________(把所有正确的序号都填上).

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)如右图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是AB、PC的中点.

(1)求证:CD⊥PD;

(2)求证:EF∥平面PAD.

18.(本小题满分12分)在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,现沿AC折成二面角D-AC-B,使BD为异面直线AD、BC的公垂线.

(1)求证:平面ABD⊥平面ABC;

(2)当a为何值时,二面角D-AC-B为45°.

19.(本小题满分12分)如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB=BC=CA=3,M为AB的中点,四点P、A、M、C都在球O的球面上.

(1)证明:平面PAB⊥平面PCM;

(2)证明:线段PC的中点为球O的球心.

20.(本小题满分12分)如图所示,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PA与平面ABCD所成的角为60°,在四边形ABCD中,∠D=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2.

(1)建立适当的坐标系,并写出点B,P的坐标;

(2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值;

(3)若PB的中点为M,求证:平面AMC⊥平面PBC.

21.(本小题满分12分)已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,E是SC上的任意一点.

(1)求证:平面EBD⊥平面SAC;

(2)设SA=4,AB=2,求点A到平面SBD的距离;

(3)当的值为多少时,二面角B-SC-D的大小为120°?

22.(本小题满分12分)如图,M、N、P分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、BC、DD1上的点.

(1)若,求证:无论点P在D1D上如何移动,总有BP⊥MN;

(2)若D1P:PD=1∶2,且PB⊥平面B1MN,求二面角M-B1N-B的余弦值;

(3)棱DD1上是否总存在这样的点P,使得平面APC1⊥平面ACC1?证明你的结论.

答案:

一、选择题

1.D

2.B 设球的半径为R,则正方体的对角线长为2R,

依题意知R2=a2,即R2=a2,

∴S球=4πR2=4π·a2=.故选B.

3.B 设高为h,则由可得h=2,也可建立空间直角坐标系,利用空间向量进行求解.

4.A 易知A选项由m⊥α,α∥β?m⊥β,n?β?m⊥n,故A选项命题正确.

5.D 设正方形边长为1,由题意易知∠CBC1即为AD与BC1所成的角.设AC与BD相交于O,易知△CC1O为正三角形,故CC1=,在△CBC1中,由余弦定理可得所求余弦值为.故选D.

6.B 命题甲正确,命题乙不正确,命题丙不正确,故真命题个数为1,应选B

7.C 将直观图还原得?OABC,

∵O′D′=O′C′=2 cm,

OD=2O′D′=4 cm,

C′D′=O′C′=2 cm,

∴CD=2 cm,

OC=

=6 cm,

OA=O′A′=6 cm=OC,

故原图形为菱形.

8.B 以正三棱锥O-ABC的顶点O为原点,OA,OB,OC为x,y,z轴建系,

设侧棱长为1,

则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),

侧面OAB的法向量为O=(0,0,1),

底面ABC的法向量为n=(),

∴cos〈O,n〉=

.

9.D 过O作A1B1的平行线,交B1C1于E,

则O到平面ABC1D1的距离即为E到平面ABC1D1的距离.

作EF⊥BC1于F,易证EF⊥平面ABC1D1,

可求得EF=B1C=.选D.

10.D A错,平行于同一平面的两直线可平行、相交和异面;B错,必须平面内有两条相交直线分别与平面平行,此时两平面才平行;

C错,两垂直平面内的任一直线与另一平面可平行、相交或垂直;

D对,由空间想象易知命题正确.

11.A 以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2a,则D(0,0,0)、D1(0,0,2a)、M(0,0,a)、A(2a,0,0)、C(0,2a,0)、O(a,a,0)、N(0,a,2a).

∴O=(-a,-a,a),M=(0,a,a),A=(-2a,2a,0).

∴O·A=0,M·O=0,

∴OM⊥AC,OM⊥MN.

12.A ∵BA⊥AC,BC1⊥AC,BA∩BC1=B,

∴AC⊥平面ABC1.

∵AC?平面ABC,∴平面ABC⊥平面ABC1,且交线是AB.

故平面ABC1上一点C1在底面ABC的射影H必在交线AB上.

二.、填空题

13.【解析】 过底面中心O作侧棱的平行线交一侧面于H,

则OH=×a=a为所求.

【答案】 a

14.【解析】 取CC1的中点F,则ME=MF,

∴AM+ME=AM+MF≥AF=a.

【答案】 a

15.【解析】 由公理4知①正确;

当a⊥b,b⊥c时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故

②不正确;

当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故③不正确;

a?α,b?β,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故

④不正确;

当a,b与c成等角时,a与b可以相交、平行,也可以异面,故⑤不正确.

【答案】 ①

16.【解析】 由PA⊥平面ABC,AE?平面ABC,得PA⊥AE,

又由正六边形的性质得AE⊥AB,PA∩AB=A,得AE⊥平面PAB,又PB?平面PAB,

∴AE⊥PB,①正确;又平面PAB⊥平面ABC,所以平面ABC⊥平面PBC不成立,②错;由正六边形的性质得BC∥AD,又AD?平面PAD,∴BC∥平面PAD,∴直线BC∥平面PAE也不成立,③错;在Rt△PAD中,PA=AD=2AB,

∴∠PDA=45°,

∴④正确.

【答案】 ①④

三、解答题

17.【证明】 (1)∵PA⊥平面ABCD,而CD?平面ABCD,

∴PA⊥CD,又CD⊥AD,AD∩PA=A,

∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥PD.

(2)取CD的中点G,连接EG、FG.

∵E、F分别是AB、PC的中点,

∴EG∥AD,FG∥PD,

∴平面EFG∥平面PAD,

又∵EF?平面EFG,

∴EF∥平面PAD.

18.【解析】 (1)证明:由题知BC⊥BD,又BC⊥AB.∴BC⊥面ABD,∴面ABC⊥面ABD.

(2)作DE⊥AB于E,由(1)知DE⊥面ABC,作EF⊥AC于F,连DF,则DF⊥AC,∴∠DFE为二面角D-AC-B的平面角.即∠DFE=45°.EF=DE=DF,∵DF=,AF=,解得a2=,a=.

19.【解析】 (1)证明:∵AC=BC,M为AB的中点,∴CM⊥AM.∵PA⊥平面ABC,CM?平面ABC,∴PA⊥CM.

∵AB∩PA=A,AB?平面PAB,PA?平面PAB,

∴CM⊥平面PAB.

∵CM?平面PCM,

∴平面PAB⊥平面PCM.

(2)证明:由(1)知CM⊥平面PAB.

∵PM?平面PAB,

∴CM⊥PM.

∵PA⊥平面ABC,AC?平面ABC,∴PA⊥AC.如图,,取PC的中点N,连结MN、AN.在Rt△PAC中,点N为斜边PC的中点,

∴AN=PN=NC.在Rt△PCM中,点N为斜边PC的中点,

∴MN=PN=NC.

∴PN=NC=AN=MN.

∴点N是球O的球心,即线段PC的中点为球O的球心.

20.【解析】 (1)如图所示,以D为原点,射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系D-xyz.

∵∠D=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2,

∴A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0),

由PD⊥平面ABCD,得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角,

∴∠PAD=60°.

在Rt△PAD中,由AD=2,得PD=2

∴P(0,0,2).

(2)∵=(2,0,-2),

=(-2,-3,0),

∴cos<,>=

=-

所以PA与BC所成角的余弦值为

(3)证明:∵M为PB的中点,

∴点M的坐标为(1,2,),

∴=(-1,2,),=(1,1,),

=(2,4,-2),

∵·=(-1)×2+2×4+×(-2)=0,

·=1×2+1×4+×(-2)=0,

∴⊥,⊥,∴PB⊥平面AMC

∵PB?平面PBC

∴平面AMC⊥平面PBC .

21.【解析】 (1)∵SA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,

∴SA⊥BD.

∵ABCD是正方形,

∴AC⊥BD,∴BD⊥平面SAC.

∵BD?平面EBD,

∴平面EBD⊥平面SAC.

(2)设AC∩BD=F,连SF,则SF⊥BD.

∵AB=2.∴BD=2.

∵SF=

=3

∴S△SBD=BD·SF

·2·3=6.

设点A到平面SBD的距离为h,

∵SA⊥平面ABCD,

·S△SBD·h

·S△ABD·SA,

∴6·h=·2·2·4,

∴h=

∴点A到平面SBD的距离为.

(3)设SA=a,以A为原点,AB、AD、AS分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,为计算方便,不妨设AB=1,则C(1,1,0),S(0,0,a),B(1,0,0),D(0,1,0),

∴=(1,1,-a),=(1,0,-a),=(0,1,-a),

再设平面SBC,平面SCD的法向量分别为

n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),

∴y1=0.从而取x1=a,则z1=1.

∴可取n1=(a,0,1).

∴x2=0,∴取y2=a.则z2=1,

∴可取n2=(0,a,1).

∴cos.

要使二面角B-SC-D的大小为120°,则,从而a=1.

即当=1时,二面角B-SC-D的大小为120°.

22.【解析】 (1)证明:连结AC、BD,则BD⊥AC,

∴MN∥AC,∴BD⊥MN.

又∵DD1⊥平面ABCD,

∴DD1⊥MN,

∵BD∩DD1=D,∴MN⊥平面BDD1.

又P无论在DD1上如何移动,总有BP?平面BDD1,

∴无论点P在D1D上如何移动,总有BP⊥MN.

(2)以D为坐标原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的坐标系.设正方体的棱长为1,AM=NC=t,

则M(1,t,0),N(t,1,0),B1(1,1,1),

P(0,0,),B(1,1,0),A(1,0,0),

∵=(0,1-t,1),

B=

又∵BP⊥平面MNB1,

∴·B=0,

即t-1+=0,∴t=

∴=(0,,1),

M=(-,0).

设平面MNB1的法向量n=(x,y,z),

由,

得x=y,z=-y.

令y=3,则n=(3,3,-2).

∵AB⊥平面BB1N,

∴A是平面BB1N的一个法向量,A=(0,1,0).

设二面角M-B1N-B的大小为θ,

∴cos〈n,A〉

.

则二面角M-B1N-B的余弦值为.

(3)存在点P,且P为DD1的中点,

使得平面APC1⊥平面ACC1.

证明:∵BD⊥AC,BD⊥CC1,

∴BD⊥平面ACC1.

取BD1的中点E,连PE,

则PE∥BD,

∴PE⊥平面ACC1.

∵PE?平面APC1,

∴平面APC1⊥平面ACC1.

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直线、平面、简单几何体(A、B)

————————————————————————————————————— 【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内,第Ⅱ卷可在各题后直 接作答,共 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 题号 答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.平面 α 外的一条直线 a 与平面 α 内的一条直线 b 不平行,则 ( ) A.a∥\α B.a∥α C.a 与 b 一定是异面直线 D.α 内可能有无数条直线与 a 平行 2.正方体的表面积是 a2,它的顶点都在一个球面上,则这个球的表面积是 ( ) πa2 πa2 A. B. 3 2 2 C.2πa D.3πa2 6 3.若正四棱柱的对角线与底面所成的角的余弦值为 ,且底面边长为 2,则高为 3 ( ) A.1 B .2 C.3 D.4 4.已知直线 m⊥平面 α,直线 n?平面 β,则下列命题正确的是 A.若 α∥β,则 m⊥n B.若 α⊥β,则 m∥n C.若 m⊥n,则 α∥β D.若 n∥α,则 α∥β 5.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成一个 120° 的二面角,点 C 到达点 C1,这时异面直线 AD 与 BC1 所成的角的余弦值是 ( ) 2 1 A. B. 2 2 3 3 C. D. 4 4 6.设有三个命题, 甲:底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体; 乙:底面是矩形的平行六面体是长方体; 丙:直四棱柱是直平行六面体. 以上命题中,真命题的个数有 ( ) A.0 个 B .1 个 C.2 个 D.3 个 7.如图,矩形 O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中 O′A′=6 cm,O′C′= 2 cm,则原图形是 ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

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A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.一般的平行四边形 8.若正三棱锥的侧面都是直角三角形,则侧面与底面所成二面角的余弦值是( ) 6 3 A. B. 3 3 2 1 C. D. 3 3 9.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,O 是底面 A1B1C1D1 的中心,则 O 到平面 ABC1D1 的距离为 ( ) 1 2 A. B. 2 2 3 2 C. D. 2 4 10.已知 m,n 为不同的直线,α,β 为不同的平面,下列四个命题中,正确的是( ) A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m?α,n?α,且 m∥β,n∥β,则 α∥β C.若 α⊥β,m?α,则 m⊥β D.若 α⊥β,m⊥β,m?α,则 m∥α 11.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是底面 ABCD 的中心,M、N 分 别 是 棱 DD1、D1C1 的中点,则直线 OM ( ) A.和 AC、MN 都垂直 B.垂直于 AC,但不垂直于 MN C.垂直于 MN,但不垂直于 AC D.与 AC、MN 都不垂直 12.如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90° ,BC1⊥AC,则 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在 ( )

A.直线 AB 上 B.直线 BC 上 C.直线 AC 上 D.△ABC 内部

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 题 号 得 分 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) 13 .若正三棱锥底面的边长为 a ,且每两个侧面所成的角均为 90° ,则底面中心到侧面的距离为

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第Ⅰ卷

第Ⅱ卷 二 17 18 19 20 21 22

总 分

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________. 14.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,点 E 为 AA1 的中点,在对角面 BB1D1D 上取一点 M, 使 AM+ME 最小,其最小值为________.

15.a,b,c 是空间中互不重合的三条直线,下面给出五个命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c; ③若 a 与 b 相交,b 与 c 相交,则 a 与 c 相交; ④若 a?平面 α,b?平面 β,则 a,b 一定是异面直线; ⑤若 a,b 与 c 成等角,则 a∥b. 上述命题中正确的________(只填序号). 16.如图,已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形,PA⊥平面 ABC,PA=2AB,则下列结论中:

①PB⊥AE;②平面 ABC⊥平面 PBC;③直线 BC∥平面 PAE;④∠PDA=45° . 其中正确的有________(把所有正确的序号都填上). 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)如右图所示, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 棱 PA 垂直于底面,E、F 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证:CD⊥PD; (2)求证:EF∥平面 PAD. 18.(本小题满分 12 分)在矩形 ABCD 中,AB=1,BC=a,现沿 AC 折 -AC-B,使 BD 为异面直线 AD、BC 的公垂线. (1)求证:平面 ABD⊥平面 ABC; (2)当 a 为何值时,二面角 D-AC-B 为 45° .

是矩形,侧

成二面角 D

19.(本小题满分 12 分)如图所示,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,AB=BC=CA=3,M 为 AB 的中点,四点 P、A、M、C 都在球 O 的球面上.

(1)证明:平面 PAB⊥平面 PCM; (2)证明:线段 PC 的中点为球 O 的球心. 20.(本小题满分 12 分)如图所示,四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PA 与平面 ABCD 所成的 角为 60° ,在四边形 ABCD 中,∠D=∠DAB=90° ,AB=4,CD=1,AD=2. (1)建立适当的坐标系,并写出点 B,P 的坐标;

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(2)求异面直线 PA 与 BC 所成角的余弦值; (3)若 PB 的中点为 M,求证:平面 AMC⊥平面 PBC.

21.(本小题满分 12 分)已知四棱锥 S-ABCD 的底面 ABCD 是正方形,SA⊥底面 ABCD,E 是 SC 上的 任意一点. (1)求证:平面 EBD⊥平面 SAC; (2)设 SA=4,AB=2,求点 A 到平面 SBD 的距离; SA (3)当 的值为多少时,二面角 B-SC-D 的大小为 120° ? AB

22.(本小题满分 12 分)如图,M、N、P 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AB、BC、DD1 上的点. BM BN (1)若 = ,求证:无论点 P 在 D1D 上如何移动,总有 BP⊥MN; MA NC (2)若 D1P:PD=1∶2,且 PB⊥平面 B1MN,求二面角 M-B1N-B 的余弦值; (3)棱 DD1 上是否总存在这样的点 P,使得平面 APC1⊥平面 ACC1?证明你的结论.

答案: 一、选择题 1.D 2.B 设球的半径为 R,则正方体的对角线长为 2R, 4 1 1 依题意知 R2= a2,即 R2= a2, 3 6 8 2 1 π a ∴S 球=4πR2=4π· a2= .故选 B. 8 2 2 2 6 3.B 设高为 h,则由 = 可得 h=2,也可建立空间直角坐标系,利用空间向量进行求解. 3 2 h +8 4.A 易知 A 选项由 m⊥α,α∥β?m⊥β,n?β?m⊥n,故 A 选项命题正确. 5.D 设正方形边长为 1,由题意易知∠CBC1 即为 AD 与 BC1 所成的角.设 AC 与 BD 相交于 O,易 知△CC1O 为正三角形,故 CC1= 2 3 ,在△CBC1 中,由余弦定理可得所求余弦值为 .故选 D. 2 4

6.B 命题甲正确,命题乙不正确,命题丙不正确,故真命题个数为 1,应选 B 7.C 将直观图还原得?OABC, ∵O′D′= 2O′C′=2 2 cm, OD=2O′D′=4 2 cm,

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C′D′=O′C′=2 cm, ∴CD=2 cm, OC= = CD2+OD2

22+(4 2)2=6 cm,

OA=O′A′=6 cm=OC, 故原图形为菱形. 8.B 以正三棱锥 O-ABC 的顶点 O 为原点,OA,OB,OC 为 x,y,z 轴建系, 设侧棱长为 1, 则 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1), 侧面 OAB 的法向量为 O=(0,0,1), 1 1 1 底面 ABC 的法向量为 n=( , , ), 3 3 3 ∴cos〈O,n〉= 1 3 = 1?2 ?1?2 ?1?2 1· ? ?3? +?3? +?3? 3 = . 3 9.D 过 O 作 A1B1 的平行线,交 B1C1 于 E, 则 O 到平面 ABC1D1 的距离即为 E 到平面 ABC1D1 的距离. 作 EF⊥BC1 于 F,易证 EF⊥平面 ABC1D1, 1 2 可求得 EF= B1C= .选 D. 4 4 10.D A 错,平行于同一平面的两直线可平行、相交和异面;B 错,必须平面内有两条相交直线分 别与平面平行,此时两平面才平行; C 错,两垂直平面内的任一直线与另一平面可平行、相交或垂直; D 对,由空间想象易知命题正确. 11.A 以 DA、DC、DD1 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为 2a, 则 D(0,0,0)、D1(0,0,2a)、M(0,0,a)、A(2a,0,0)、C(0,2a,0)、O(a,a,0)、N(0,a,2a). ∴O=(-a,-a,a),M=(0,a,a),A=(-2a,2a,0). ∴O· A=0,M· O=0, ∴OM⊥AC,OM⊥MN. 12.A ∵BA⊥AC,BC1⊥AC,BA∩BC1=B, ∴AC⊥平面 ABC1. ∵AC?平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 ABC1,且交线是 AB. 故平面 ABC1 上一点 C1 在底面 ABC 的射影 H 必在交线 AB 上. 二. 、填空题 13. 【解析】 过底面中心 O 作侧棱的平行线交一侧面于 H, 1 2 2 则 OH= × a= a 为所求. 3 2 6

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【答案】

2 a 6 1 ?2 3 ( 2a)2+? ?2a? =2a.

14. 【解析】 取 CC1 的中点 F,则 ME=MF, ∴AM+ME=AM+MF≥AF= 【答案】 3 a 2

15. 【解析】 由公理 4 知①正确; 当 a⊥b,b⊥c 时,a 与 c 可以相交、平行,也可以异面,故 ②不正确; 当 a 与 b 相交,b 与 c 相交时,a 与 c 可以相交、平行,也可以异面,故③不正确; a?α,b?β,并不能说明 a 与 b“不同在任何一个平面内” ,故 ④不正确; 当 a,b 与 c 成等角时,a 与 b 可以相交、平行,也可以异面,故⑤不正确. 【答案】 ① 16. 【解析】 由 PA⊥平面 ABC,AE?平面 ABC,得 PA⊥AE, 又由正六边形的性质得 AE⊥AB,PA∩AB=A,得 AE⊥平面 PAB,又 PB?平面 PAB, ∴AE⊥PB,①正确;又平面 PAB⊥平面 ABC,所以平面 ABC⊥平面 PBC 不成立,②错;由正六边形的性 质得 BC∥AD,又 AD?平面 PAD,∴BC∥平面 PAD,∴直线 BC∥平面 PAE 也不成立,③错;在 Rt△PAD 中, PA=AD=2AB, ∴∠PDA=45° , ∴④正确. 【答案】 ①④ 三、解答题 17. 【证明】 (1)∵PA⊥平面 ABCD,而 CD?平面 ABCD, ∴PA⊥CD,又 CD⊥AD,AD∩PA=A, ∴CD⊥平面 PAD,∴CD⊥PD. (2)取 CD 的中点 G,连接 EG、FG. ∵E、F 分别是 AB、PC 的中点, ∴EG∥AD,FG∥PD, ∴平面 EFG∥平面 PAD, 又∵EF?平面 EFG, ∴EF∥平面 PAD. 18. 【解析】 (1)证明:由题知 BC⊥BD,又 BC⊥AB.∴BC⊥面 ABD,∴面 ABC⊥面 ABD. (2)作 DE⊥AB 于 E,由(1)知 DE⊥面 ABC,作 EF⊥AC 于 F,连 DF,则 DF⊥AC,∴∠DFE 为二面角 D- AC-B 的平面角.即∠DFE=45° .EF=DE= 4 a= 8 . 2 19. 【解析】 (1)证明:∵AC=BC,M 为 AB 的中点,∴CM⊥AM.∵PA⊥平面 ABC,CM?平面 ABC,∴ 2 DF,∵DF= 2 ,AF= a2+1 a EF BC 2 且 = ,解得 a2= , AF AB 2 a +1

2

a2

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PA⊥CM. ∵AB∩PA=A,AB?平面 PAB,PA?平面 PAB, ∴CM⊥平面 PAB. ∵CM?平面 PCM, ∴平面 PAB⊥平面 PCM. (2)证明:由(1)知 CM⊥平面 PAB. ∵PM?平面 PAB, ∴CM⊥PM. ∵PA⊥平面 ABC,AC?平面 ABC,∴PA⊥AC.如图, ,取 PC 的中点 N,连结 MN、AN.在 Rt△PAC 中,点 N 为斜边 PC 的中点, ∴AN=PN=NC.在 Rt△PCM 中,点 N 为斜边 PC 的中点, ∴MN=PN=NC. ∴PN=NC=AN=MN. ∴点 N 是球 O 的球心,即线段 PC 的中点为球 O 的球心. 20. 【解析】 (1)如图所示,以 D 为原点,射线 DA,DC,DP 分别为 x,y,z 轴的正方向,建立空间 直角坐标系 D-xyz. ∵∠D=∠DAB=90° ,AB=4,CD=1,AD=2, ∴A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0), 由 PD⊥平面 ABCD,得∠PAD 为 PA 与平面 ABCD 所成的角, ∴∠PAD=60° . 在 Rt△PAD 中,由 AD=2,得 PD=2 3, ∴P(0,0,2 3). (2)∵=(2,0,-2 3), =(-2,-3,0), ∴cos<,>= 2×(-2)+0×(-3)+(-2 3)×0 4 13 13 =- , 13 所以 PA 与 BC 所成角的余弦值为 (3)证明:∵M 为 PB 的中点, ∴点 M 的坐标为(1,2, 3), ∴=(-1,2, 3),=(1,1, 3), =(2,4,-2 3), ∵· =(-1)×2+2×4+ 3×(-2 3)=0, · =1×2+1×4+ 3×(-2 3)=0, ∴⊥,⊥,∴PB⊥平面 AMC ∵PB?平面 PBC

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13 13

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∴平面 AMC⊥平面 PBC . 21. 【解析】 (1)∵SA⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD, ∴SA⊥BD. ∵ABCD 是正方形, ∴AC⊥BD,∴BD⊥平面 SAC. ∵BD?平面 EBD, ∴平面 EBD⊥平面 SAC. (2)设 AC∩BD=F,连 SF,则 SF⊥BD. ∵AB=2.∴BD=2 2. ∵SF= = SA2+AF2

42+( 2)2=3 2 1 ∴S△SBD= BD· SF 2 1 = · 2 2· 3 2=6. 2 设点 A 到平面 SBD 的距离为 h, ∵SA⊥平面 ABCD, 1 ∴ · S · h 3 △SBD 1 = · S · SA, 3 △ABD 1 ∴6· h= · 2· 2· 4, 2 4 ∴h= , 3 4 ∴点 A 到平面 SBD 的距离为 . 3 (3)设 SA=a,以 A 为原点,AB、AD、AS 分别为 x、y、z 轴建 坐标系, 为计算方便, 不妨设 AB=1, 则 C(1,1,0), S(0,0, a), B(1,0,0), ∴=(1,1,-a),=(1,0,-a),=(0,1,-a), 再设平面 SBC,平面 SCD 的法向量分别为 n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2), 则 ∴y1=0.从而取 x1=a,则 z1=1. ∴可取 n1=(a,0,1). ∵ ∴x2=0,∴取 y2=a.则 z2=1, ∴可取 n2=(0,a,1). 1 ∴cos<n1,n2>= 2 . a +1 1 1 要使二面角 B-SC-D 的大小为 120° ,则 2 = ,从而 a=1. a +1 2 立空间直角 D(0,1,0),

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SA a 即当 = =1 时,二面角 B-SC-D 的大小为 120° . AB 1 22. 【解析】 (1)证明:连结 AC、BD,则 BD⊥AC, BM BN ∵ = , MA NC ∴MN∥AC,∴BD⊥MN. 又∵DD1⊥平面 ABCD, ∴DD1⊥MN, ∵BD∩DD1=D,∴MN⊥平面 BDD1. 又 P 无论在 DD1 上如何移动,总有 BP?平面 BDD1, ∴无论点 P 在 D1D 上如何移动,总有 BP⊥MN. (2)以 D 为坐标原点,DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的坐标系.设正 方体的棱长为 1,AM=NC=t,

则 M(1,t,0),N(t,1,0),B1(1,1,1), 2 P(0,0, ),B(1,1,0),A(1,0,0), 3 ∵=(0,1-t,1), 2? B=? ?-1,-1,3? 又∵BP⊥平面 MNB1, ∴· B=0, 2 1 即 t-1+ =0,∴t= , 3 3 2 ∴=(0, ,1), 3 2 2 M=(- , ,0). 3 3 设平面 MNB1 的法向量 n=(x,y,z), 由, 2 得 x=y,z=- y. 3 令 y=3,则 n=(3,3,-2). ∵AB⊥平面 BB1N, ∴A 是平面 BB1N 的一个法向量,A=(0,1,0). 设二面角 M-B1N-B 的大小为 θ, ∴cos〈n,A〉

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= =

|(3,3,-2)· (0,1,0)| 22 3 22 . 22

3 22 则二面角 M-B1N-B 的余弦值为 . 22 (3)存在点 P,且 P 为 DD1 的中点, 使得平面 APC1⊥平面 ACC1. 证明:∵BD⊥AC,BD⊥CC1, ∴BD⊥平面 ACC1. 取 BD1 的中点 E,连 PE, 则 PE∥BD, ∴PE⊥平面 ACC1. ∵PE?平面 APC1, ∴平面 APC1⊥平面 ACC1.

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