初高中数学衔接超好教材(1)

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初高中数学衔接教材

现有初高中数学知识存在以下“脱节”

1.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用。

2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解,对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。

3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。

4.初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平,但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值,研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。

5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系,根与系数的关系(韦达定理)在初中不作要求,此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型,而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容,高中教材却未安排专门的讲授。

6.图像的对称、平移变换,初中只作简单介绍,而在高中讲授函数后,对其图像的上、下;左、右平移,两个函数关于原点,轴、直线的对称问题必须掌握。

7.含有参数的函数、方程、不等式,初中不作要求,只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。

8.几何部分很多概念(如重心、垂心等)和定理(如平行线分线段比例定理,射影定理,相交弦定理等)初中生大都没有学习,而高中都要涉及。

另外,像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化,不利于高中知识的讲授。

目录

1.1 数与式的运算

1.1.1 绝对值

1.1.2 乘法公式

1.1.3 二次根式

1.1.4分式

1.2 分解因式

2.1 一元二次方程

2.1.1 根的判别式

2.1.2 根与系数的关系(韦达定理)

2.2 二次函数

2.2.1 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质

2.2.2 二次函数的三种表示方式

2.2.3 二次函数的简单应用

2.3 方程与不等式

2.3.1 二元二次方程组解法

2.3.2 一元二次不等式解法

3.1 相似形

3.1.1.平行线分线段成比例定理

3.1.2相似形

3.2 三角形

3.2.1 三角形的“四心”

3.2.2 几种特殊的三角形

3.3圆

3.3.1 直线与圆,圆与圆的位置关系

3.3.2 点的轨迹

1.1 数与式的运算

1.1.1.绝对值

绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即

1

2 ,0,||0,0,,0.a a a a a a >??==??-

绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离.

两个数的差的绝对值的几何意义:b a -表示在数轴上,数a 和数b 之间的距离. 例1 解不等式:13x x -+->4.

解法一:由01=-x ,得1=x ;由30x -=,得3x =;

①若1,

即24x -+>4,解得x <0,

又x <1,

∴x <0;

②若12x ≤<,不等式可变为(1)(3)4x x --->,

即1>4,

∴不存在满足条件的x ;

③若3x ≥,不等式可变为(1)(3)4x x -+->,

即24x ->4, 解得x >4.

又x ≥3,\\点B 之间的距离|PB |,即|PB |=|x -3|.

所以,不等式

由|AB |=2,可知

点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧.

x <0,或x >4.

练 习

1.填空:

(1)若5=x ,则x =_________;若4-=x ,则x =_________.

(2)如果5=+b a ,且1-=a ,则b =________;若21=-c ,则c =________.

2.选择题:

下列叙述正确的是 ( )

(A )若a b =,则a b = (B )若a b >,则a b >

(C )若a b <,则a b < (D )若a b =,则a b =±

3.化简:|x -5|-|2x -13|(x >5).

1.1.

2. 乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:

(1)平方差公式 22()()a b a b a b +-=-;

(2)完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+.

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:

(1)立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+;

(2)立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-;

(3)三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++;

(4)两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++;

(5)两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-.

对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明.

例1 计算:22

(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++.

解法一:原式=2222(1)(1)x x x ??-+-??

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初高中数学衔接教材 现有初高中数学知识存在以下“脱节” 1.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用。 2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解,对系数不为“1”的涉及不多,而且对三 次或高次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的 解题技巧。 4.初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平,但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。 配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值,研究闭区间上函数最值等等是 高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系,根与系数的关系(韦达定理)在初中不作要求,此类 题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型,而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被 视为重要内容,高中教材却未安排专门的讲授。 6.图像的对称、平移变换,初中只作简单介绍,而在高中讲授函数后,对其图像的上、下;左、右 平移,两个函数关于原点,轴、直线的对称问题必须掌握。 7.含有参数的函数、方程、不等式,初中不作要求,只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。 方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8.几何部分很多概念(如重心、垂心等)和定理(如平行线分线段比例定理,射影定理,相交弦定 理等)初中生大都没有学习,而高中都要涉及。 另外,像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化,不利于高中知识的讲授。 目 录 1.1 数与式的运算 1.1.1 绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3 二次根式 1.1.4 分式 1.2 分解因式 2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 2.1.2 根与系数的关系(韦达定理) 2.2 二次函数 2 2.2.1 二次函数 y=ax +bx+c 的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组解法 2.3.2 一元二次不等式解法 3.1 相似形 3.1.1.平行线分线段成比例定理 3.1.2 相似形 3.2 三角形 3.2.1 三角形的“四心” 3.2.2 3.3 圆 3.3.1 直线与圆,圆与圆的位置关系 3.3.2 点的轨迹 几种特殊的三角形 1.1 数与式的运算 1.1.1.绝对值 绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即 1 ?a, a ? 0, ? | a |? ?0, a ? 0, ??a, a ? 0. ? 绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义: a ? b 表示在数轴上,数 a 和数 b 之间的距离. 例 1 解不等式: x ?1 ? x ? 3 >4. 解法一:由 x ? 1 ? 0 ,得 x ? 1 ;由 x ? 3 ? 0 ,得 x ? 3 ; ① x ? 1 ,不等式可变为 ?( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 4 , 若 即 ?2 x ? 4 >4,解得 x<0, 又 x<1, ∴ x<0; ② 1 ? x ? 2 ,不等式可变为 ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 4 , 若 即 1>4, ∴ 不存在满足条件的 x; ③ x ? 3 ,不等式可变为 ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 4 , 若 即 2 x ? 4 >4,


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