2018年中考数学总复习动点问题练习(含答案)

来源:互联网 由 laixianping6 贡献 责任编辑:鲁倩  
2018中考数学总复习动点问题

因动点产生的等腰三角形问题练习

年 班 姓名 成绩: 1.如图1,在Rt △ABC 中,∠A =90°,AB =6,AC =8,点D 为边BC 的中点,DE ⊥BC 交边AC 于点E ,点P 为射线AB 上的一动点,点Q 为边AC 上的一动点,且∠PDQ =90°. (1)求ED 、EC 的长;

(2)若BP =2,求CQ 的长;

(3)记线段PQ 与线段DE 的交点为F ,若△PDF 为等腰三角形,求BP 的长.

图1 备用图

解:(1)在Rt △ABC 中, AB =6,AC =8,所以BC =10. 在Rt △CDE 中,CD =5,所以315tan 544ED CD C =?∠=?

=,25

4

EC =. (2)如图2,过点D 作DM ⊥AB ,DN ⊥AC ,垂足分别为M 、N ,那么DM 、DN 是

△ABC 的两条中位线,DM =4,DN =3. 由∠PDQ =90°,∠MDN =90°,可得∠PDM =∠QDN . 因此△PDM ∽△QDN .

所以43PM DM QN DN ==.所以34QN PM =,4

3

PM QN =.

图2 图3 图4

①如图3,当BP =2,P 在BM 上时,PM =1. 此时3344QN PM =

=.所以319444

CQ CN QN =+=+=. ②如图4,当BP =2,P 在MB 的延长线上时,PM =5.

此时31544QN PM =

=.所以1531444

CQ CN QN =+=+=. (3)如图5,如图2,在Rt △PDQ 中,3

tan 4

QD DN QPD PD DM ∠=

==. 在Rt △ABC 中,3

tan 4

BA C CA ∠=

=.所以∠QPD =∠C . 由∠PDQ =90°,∠CDE =90°,可得∠PDF =∠CDQ . 因此△PDF ∽△CDQ .

当△PDF 是等腰三角形时,△CDQ 也是等腰三角形.

①如图5,当CQ =CD =5时,QN =CQ -CN =5-4=1(如图3所示). 此时4433PM QN =

=.所以45

333

PM =-=-=. ②如图6,当QC =QD 时,由cos CH C CQ =,可得5425

258

CQ =÷=. 所以QN =CN -CQ =257

488

-=(如图2所示). 此时4736PM QN =

=.所以725

366

BP BM PM =+=+=. ③不存在DP =DF 的情况.这是因为∠DFP ≥∠DQP >∠DPQ (如图5,图6所示).

图5 图6

2.如图1,抛物线y =ax 2+bx +c 经过A (-1,0)、B (3, 0)、C (0 ,3)三点,直线l 是抛物线的对称轴. (1)求抛物线的函数关系式;

(2)设点P 是直线l 上的一个动点,当△P AC 的周长最小时,求点P 的坐标;

(3)在直线l 上是否存在点M ,使△MAC 为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点M 的坐标;若不存在,请说明理由.

图1

解:(1)因为抛物线与x 轴交于A (-1,0)、B (3, 0)两点,设y =a (x +1)(x -3), 代入点C (0 ,3),得-3a =3.解得a =-1.

所以抛物线的函数关系式是y =-(x +1)(x -3)=-x 2+2x +3.

(2)如图2,抛物线的对称轴是直线x =1.

当点P 落在线段BC 上时,P A +PC 最小,△P AC 的周长最小. 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为H .

BH PH

BO CO

=,BO =CO ,得PH =BH =2. 所以点P 的坐标为(1, 2). 图2

(3)点M 的坐标为(1, 1)、

(1,或(1,0).

3.如图1,点A 在x 轴上,OA =4,将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置. (1)求点B 的坐标;

(2)求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式;

(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P ,使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P 的坐标;若不存在,请说明理由.

图1

解:(1)如图2,过点B 作BC ⊥y 轴,垂足为C .

在Rt △OBC 中,∠BOC =30°,OB =4,所以BC =2

,OC = 所以点B

的坐标为(2,--.

(2)因为抛物线与x 轴交于O 、A (4, 0),设抛物线的解析式为y =ax (x -4),

代入点

B (2,--

a -=-?-

.解得a =.

所以抛物线的解析式为2(4)y x =-=.

(3)抛物线的对称轴是直线x =2,设点P 的坐标为(2, y ).

①当OP =OB =4时,OP 2=16.所以4+y 2=16

.解得y =± 当P

在时,B 、O 、P 三点共线(如图2).

②当BP =BO =4时,BP 2=16

.所以224(16y ++=

.解得12y y ==- ③当PB =PO 时,PB 2=PO 2

.所以22224(2y y ++=+

.解得y =- 综合①、②、③,点P

的坐标为(2,-,如图2所示.

图2 图3

4.如图1,已知一次函数y =-x +7与正比例函数4

3

y x =

的图象交于点A ,且与x 轴交于点B . (1)求点A 和点B 的坐标;

(2)过点A 作AC ⊥y 轴于点C ,过点B 作直线l //y 轴.动点P 从点O 出发,以每秒1个单位长的速度,沿O —C —A 的路线向点A 运动;同时直线l 从点B 出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l 交x 轴于点R ,交线段BA 或线段AO 于点Q .当点P 到达点A 时,点P 和直线l 都停止运动.在运动过程中,设动点P 运动的时间为t 秒. ①当t 为何值时,以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8?

②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求t 的值;若不存在,请说明理由.

图1

解:(1)解方程组7,

4

y x =-+??

?=??

得3,4.x y =??=? 所以点A 的坐标是(3,4). 令70y x =-+=,得7x =.所以点B 的坐标是(7,0).

(2)①如图2,当P 在OC 上运动时,0≤t <4.由8A P R A C P

P O R

A S S S S =--=△△

梯形,得

1113+7)44(4)(7)8222

t -?-??--?-=(.整理,得28120t t -+=.解得t =2或t =6(舍去).如图3,当P 在CA 上运动时,△APR 的最大面积为6.

因此,当t =2时,以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8.

图2 图3 图4

②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形,0≤t <4. 如图1,在△AOB 中,∠B =45°,∠AOB >45°,OB =7

,AB =OB >AB .因此∠OAB >∠AOB >∠B .

如图4,点P 由O 向C 运动的过程中,OP =BR =RQ ,所以PQ //x 轴. 因此∠AQP =45°保持不变,∠P AQ 越来越大,所以只存在∠APQ =∠AQP 的情况. 此时点A 在PQ 的垂直平分线上,OR =2CA =6.所以BR =1,t =1. 我们再来讨论P 在CA 上运动时的情形,4≤t <7. 在△APQ 中, 3cos 5A ∠=

为定值,7AP t =-,5520

333

OQ OA OR t =-=-=-. 如图5,当AP =AQ 时,解方程520733t t -=-,得41

8

t =.

如图6,当QP =QA 时,点Q 在P A 的垂直平分线上,AP =2(OR -OP ).解方程72[(7)(4)]t t t -=---,

得5t =.

如7,当P A =PQ 时,那么1

2cos AQ

A AP

∠=.因此2cos AQ AP A =?∠.解方程52032(7)335

=-?,得226

43

t =. 综上所述,t =1或

418或5或22643

时,△APQ 是等腰三角形.

图5 图6 图7

5.如图1,在矩形ABCD 中,AB =m (m 是大于0的常数),BC =8,E 为线段BC 上的动点(不与B 、

C 重合).连结DE ,作EF ⊥DE ,EF 与射线BA 交于点F ,设CE =x ,BF =y . (1)求y 关于x 的函数关系式;

(2)若m =8,求x 为何值时,y 的值最大,最大值是多少?

(3)若12

y m

=

,要使△DEF 为等腰三角形,m 的值应为多少?

图1

解:(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角,所以∠EDC =∠FEB .又因为∠C =∠B =90°,所以△DCE ∽△EBF .因此

DC EB CE BF =,即8m x x y -=.整理,得y 关于x 的函数关系为218

y x x m m

=-+.

(2)如图2,当m =8时,2211

(4)288

y x x x =-

.因此当x =4时,y 取得最大值为2. (3) 若12

y m =,那么

21218x x m m m

=-+.整理,得28120x x -+=.解得x =2或x =6.要使△DEF 为等腰三角形,只存在ED =EF 的情况.因为△DCE ∽△EBF ,所以CE =BF ,即x =y .将x =y =2代入12y m =

,得m =6(如图3);将x =y =6代入12

y m

=,得m =2(如图4).

图2 图3 图4

6.如图1,在等腰梯形ABCD 中,AD //BC ,E 是AB 的中点,过点E 作EF //BC 交CD 于点F ,AB =4,BC =6,∠B =60°.

(1)求点E 到BC 的距离;

(2)点P 为线段EF 上的一个动点,过点P 作PM ⊥EF 交BC 于M ,过M 作MN //AB 交折线ADC 于N ,连结PN ,设EP =x .

①当点N 在线段AD 上时(如图2),△PMN 的形状是否发生改变?若不变,求出△PMN 的周长;若改变,请说明理由;

②当点N在线段DC上时(如图3),是否存在点P,使△PMN为等腰三角形?若存在,请求出所有满足条件的x的值;若不存在,请说明理由.

图1 图2 图3

解:(1)如图4,过点E作EG⊥BC于G.

在Rt△BEG中,2

2

1

=

=AB

BE,∠B=60°,

所以1

60

cos=

?

?

=BE

BG,3

60

sin=

?

?

=BE

EG.

所以点E到BC的距离为3.

(2)因为AD//EF//BC,E是AB的中点,所以F是DC的中点.

因此EF是梯形ABCD的中位线,EF=4.

①如图4,当点N在线段AD上时,△PMN的形状不是否发生改变.

过点N作NH⊥EF于H,设PH与NM交于点Q.

在矩形EGMP中,EP=GM=x,PM=EG=3.

在平行四边形BMQE中,BM=EQ=1+x.

所以BG=PQ=1.

因为PM与NH平行且相等,所以PH与NM互相平分,PH=2PQ=2.

在Rt△PNH中,NH=3,PH=2,所以PN=7.

在平行四边形ABMN中,MN=AB=4.

因此△PMN的周长为3+7+4.

图4 图5

②当点N在线段DC上时,△CMN恒为等边三角形.

如图5,当PM=PN时,△PMC与△PNC关于直线PC对称,点P在∠DCB的平分线上.

在Rt△PCM中,PM=3,∠PCM=30°,所以MC=3.

此时M、P分别为BC、EF的中点,x=2.

如图6,当MP=MN时,MP=MN=MC=3,x=GM=GC-MC=5-3.

如图7,当NP=NM时,∠NMP=∠NPM=30°,所以∠PNM=120°.

又因为∠FNM=120°,所以P与F重合.

此时x=4.

综上所述,当x=2或4或5-3时,△PMN为等腰三角形.

图6 图7 图8


  • 与《2018年中考数学总复习动点问题练习(含答案)》相关:
  • 2018年中考数学,总复习,动点问题,练习含答案
  • 2018年吉林中考数学总复习动点问题练习含答案
  • 2018年中考数学复习《动点问题》综合练习(含答案
  • 2018年中考数学总复习动点问题练习-因动点产生的
  • 中考数学2018年动点问题专题复习(含答案)
  • 2018年中考数学《动点构成的相似问题》专题复习(
  • 2018年中考数学总复习《概率》专题复习练习(含答
  • 2018年中考数学总复习《统计》专题复习练习(含答
  • 2018年中考数学压轴题专题练习---因动点产生的
  • 2018年中考数学总复习《勾股定理》专题复习练习(
  • 本站网站首页首页教育资格全部考试考试首页首页考试首页职业资格考试最近更新儿童教育综合综合文库22文库2建筑专业资料考试首页范文大全公务员考试首页英语首页首页教案模拟考考试pclist学路首页日记语文古诗赏析教育教育资讯1高考资讯教育头条幼教育儿知识库教育职场育儿留学教育高考公务员考研考试教育资讯1问答教育索引资讯综合学习网站地图学习考试学习方法首页14托福知道备考心经冲刺宝典机经真题名师点睛托福课程雅思GREGMATSAT留学首页首页作文
    免责声明 - 关于我们 - 联系我们 - 广告联系 - 友情链接 - 帮助中心 - 频道导航
    Copyright © 2017 www.xue63.com All Rights Reserved