2011年高考一轮课时训练(理)12.4排列与组合的综合问题

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第四节 排列与组合的综合问题

一、选择题

1.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛,其中A不参加物理、化学竞赛,则不同的参赛方案种数为(  )

A.24            B.48

C.120 D.72

解析:若不含A,则有A种;若含有A,则有C·C·A种.

∴A+C·C·A=72.

答案:D

2.(2009年福州模拟)已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为(  )

A.33 B.34

C.35 D.36

解析:不考虑限定条件确定的不同点的个数为CCA=36,但集合B、C中有相同元素1,由5,1,1三个数确定的不同点的个数只有三个,故所求的个数为36-3=33个.

答案:A

3.(2009年湖比卷)从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有一人参加,星期六有两人参加,星期日有一人参加,则不同的选派方法共有(  )

A.120种 B.96种

C.60种 D.48种

解析:5人中选4人则有C种,周五一人有C种,周六两人则有C,周日则有C种,故共有C×C×C=60种,故选C.

答案:C

4.(2009年全国卷Ⅰ)甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有(  )

A.150种 B.180种

C.300种 D.345种

解析:分两类(1)甲组中选出一名女生有C·C·C=225种选法;

(2)乙组中选出一名女生有C·C·C=120种选法.故共有345种选法.选D.

答案:D

5.(2009年黄家中学月考)某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有(  )

A.16种 B.36种

C.42种 D.60种

解析:按条件项目可分配为2,1,0,0与1,1,1,0的结构,

∴CCA+CA=36+24=60,故选D.

答案:D

二、填空题

6.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植.不同的种植方法共有________种.

解析:∵黄瓜必选,故再选2种蔬菜的方法数是C种,在不同土质的三块土地上种植的方法是A.∴种法共有C·A=18种.

答案:18

7.安排3名支教教师去4所学校任教,每校至多2人,则不同的分配方案共有________种.(用数字作答)

解析:分2类:(1)每校最多1人:A=24;(2)每校至多2人,把3人分两组,再分到学校:CA=36,共有60种.

答案:60种

8.某校安排5个班到4个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一个班,不同的安排方法共有________种.(用数字作答)

解析:由题意可知有一个工厂安排2个班,另外三个工厂每厂一个班,共有C·C·A=240种安排方法.

答案:240

三、解答题

9.某小组学生举行毕业联欢会,人员到齐后大家彼此握手,其中有2名学生各握了3次手后提前离开,其他学生都彼此握了手.若知握手的总次数为83次,试问该小组共有多少名学生?

解析:设开始时共有n+2名学生,除去2名提前离开的学生,其余n人握手次数共有C次,离开的2人各握手3次,若他们之间未握手,则它们共握手6次;若他们之间握过手,则他们参加的握手共5次.

依题意,得C+6=83或C+5=83,即n2-n-154=0(无整数解)或n2-n-156=0,得n=13(n=-12舍去),∴该小组共有学生13名.

10.在一张节目表上原有6个节目,如果保持这些节目的相对顺序不变,再添加进去三个节目,求共有多少种安排方法?

解析:法一:添加的三个节目有三类办法排进去:①三个节目连排,有CA种方法;②三个节目互不相邻,有A种方法;③有且仅有两个节目连排,有CCCA种方法.根据分类计数原理共有CA+A+CCCA=504种.

法二:从结果考虑,排好的节目表中有9个位置,先排入三个添加节目有A种方法,余下的六个位置上按6个节目的原有顺序排入只有一种方法.故所求排法为A=504种.

法三:=504.

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第四节

一、选择题

排列与组合的综合问题

1.从 5 名学生中选出 4 名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛,其中 A 不参加物理、化学竞赛, 则不同的参赛方案种数为( A.24 C.120 ) B.48 D.72

3 解析:若不含 A,则有 A4 C1 A3 4种;若含有 A,则有 C4· 2· 3种. 3 1 ∴A4 C2· A3 4+C4· 3=72.

答案:D 2.(2009 年福州模拟)已知集合 A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空 间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( A.33 C.35 B.34 D.36 )

1 3 解析:不考虑限定条件确定的不同点的个数为 C1 2C3A3=36,但集合 B、C 中有相同元素 1,由 5,1,1

三个数确定的不同点的个数只有三个,故所求的个数为 36-3=33 个. 答案:A 3.(2009 年湖比卷)从 5 名志愿者中选派 4 人在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天, 要求星期五有一人参加,星期六有两人参加,星期日有一人参加,则不同的选派方法共有( A.120 种 C.60 种 B.96 种 D.48 种 )

1 2 1 4 1 解析:5 人中选 4 人则有 C4 5种,周五一人有 C4种,周六两人则有 C3,周日则有 C1种,故共有 C5×C4

×C2 3=60 种,故选 C. 答案:C 4.(2009 年全国卷Ⅰ)甲组有 5 名男同学,3 名女同学;乙组有 6 名男同学、2 名女同学.若从甲、乙 两组中各选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( A.150 种 C.300 种 B.180 种 D.345 种 )

解析:分两类(1)甲组中选出一名女生有 C1 C1 C2 5· 3· 6=225 种选法; (2)乙组中选出一名女生有 C2 C1 C1 5· 6· 2=120 种选法.故共有 345 种选法.选 D. 答案:D 5.(2009 年黄家中学月考)某外商计划在四个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投资的

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项目不超过 2 个,则该外商不同的投资方案有( A.16 种 C.42 种 B.36 种 D.60 种

)

解析:按条件项目可分配为 2,1,0,0 与 1,1,1,0 的结构,

2 2 3 3 ∴C2 4C3A2+C4A3=36+24=60,故选 D.

答案:D 二、填空题 6.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄 瓜必须种植.不同的种植方法共有________种.

3 解析:∵黄瓜必选,故再选 2 种蔬菜的方法数是 C2 3种,在不同土质的三块土地上种植的方法是 A3.∴

种法共有 C2 A3 3· 3=18 种. 答案:18 7.安排 3 名支教教师去 4 所学校任教,每校至多 2 人,则不同的分配方案共有________种.(用数字 作答)

2 2 解析:分 2 类:(1)每校最多 1 人:A3 4=24;(2)每校至多 2 人,把 3 人分两组,再分到学校:C3A4=

36,共有 60 种. 答案:60 种 8.某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一个班,不同 的安排方法共有________种.(用数字作答)

2 解析:由题意可知有一个工厂安排 2 个班,另外三个工厂每厂一个班,共有 C1 C5 · A3 4· 3=240 种安排方

法. 答案:240 三、解答题 9.某小组学生举行毕业联欢会,人员到齐后大家彼此握手,其中有 2 名学生各握了 3 次手后提前离 开,其他学生都彼此握了手.若知握手的总次数为 83 次,试问该小组共有多少名学生?

2 解析:设开始时共有 n+2 名学生,除去 2 名提前离开的学生,其余 n 人握手次数共有 Cn 次,离开的

2 人各握手 3 次,若他们之间未握手,则它们共握手 6 次;若他们之间握过手,则他们参加的握手共 5 次.

2 2 2 依题意,得 C2 n+6=83 或 Cn+5=83,即 n -n-154=0(无整数解)或 n -n-156=0,得 n=13(n=-

12 舍去),∴该小组共有学生 13 名. 10.在一张节目表上原有 6 个节目,如果保持这些节目的相对顺序不变,再添加进去三个节目,求共

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有多少种安排方法?

3 解析:法一:添加的三个节目有三类办法排进去:①三个节目连排,有 C1 7A3种方法;②三个节目互不 1 1 1 2 1 3 3 相邻,有 A3 7种方法;③有且仅有两个节目连排,有 C3C7C6A2种方法.根据分类计数原理共有 C7A3+A7+ 1 1 1 2 C3 C7C6A2=504 种.

法二:从结果考虑,排好的节目表中有 9 个位置,先排入三个添加节目有 A3 9种方法,余下的六个位置 上按 6 个节目的原有顺序排入只有一种方法.故所求排法为 A3 9=504 种.

9 A9 法三:A6=504. 6

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