浙江师范大学第五届初等数学竞赛

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浙江师范大学第五届初等数学竞赛

暨浙江省教育局统一考试模拟试题

本试卷分为第Ⅰ卷(共50分)和第Ⅱ卷(共100分)两部分,满分150分,

考试时间为120分钟,请在答题纸上作答,在试卷上作答无效。

第Ⅰ卷(共50分)

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1)满足M{a1, a2, a3, a4},且M∩{a1 ,a2, a3}={ a1·a2}的集合M的个数是

(A)1       (B)2 (C)3 (D)4

(2)设z的共轭复数是,或z+=4,z·=8,则等于

(A)1       (B)—i (C)±1 (D) ±i

(3)函数y=lncosx(-<x<)=的图象是

(4)设函数f(x)=|x+1|+|x-a|的图象关于直线x=1对称,则a的值为

(A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1

(5)已知cos(α-)+sinα=

(A)—  (B) (C)— (D)

(6)右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是

(A)9π       (B)10π

(C)11π (D) 12π

(7)在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,…,18的18名火炬手.若从中任选3人,则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为

(A)                (B)

(C)               (D)

(8)(x-)12展开式中的常数项为

(A)-1320          (B)1320        (C)-220 (D)220

(9) 设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为

(A) (B)

(C) (D)

(10)已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为

(A)10       (B)20        (C)30       (D)40

第Ⅱ卷(共100分)

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。

(11)已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(),n=(cosA,sinA).若m⊥n,且acosB+bcosA=csinC,则角B=     

(12) 在平面直角坐标系中,椭圆(a>b>0)的焦距为2c,以O为圆心,A为半径作圆M,若过作圆M的两条切线互相垂直,则椭圆的离心率是     .

(13)若不等式|3X-B|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b的取值范围为     

(14)在平面直角坐标系xOy中,若D表示横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E表示到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D内随机地投一点,则落在E中的概率    

(15)以下是有关新课程改革的命题,请判断正误。(每空1分)

1、新课程改革实际上就是新一轮的教材改革。( )

2、新课程改革的核心目的是培养全面发展的人。( )

3、新课程在小学阶段是以分科课程为主,在初中阶段是以综合课程为主。( )

4、新课程把中小学教材由“国定制”改为“国审制”,形成了教材编写、出版、选用混乱的局面,不利于教师把握教学和考试的标准。( )

5、《纲要》提出的要使学生“养成健康的审美情趣”的培养目标,只能在语文、美术、音乐课中才能实现,其他课程没有办法培养学生的审美情趣。( )

(16) 已知,求+的最小值.

解: ∵,∴令,

≥3+2.

∴当且仅当时,的最小值为3+2.

试说出: (1)此题涉及的主要知识点是 (2分)

(2)此题的解题过程用到的数学方法有 (2分)

(3)此题的解题思路体现的数学思想是 (1分)

三、综合题:本大题共6小题,共70分。

(17)概率统计(本小题满分12分)

甲乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,

答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.

(Ⅰ)求随机变量ε分布列和数学期望;(4分)

(Ⅱ) 用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求P(AB)。(8分)

.(18) 空间几何 (本小题满分12分)

如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,,E,F分别是BC, PC的中点.

(Ⅰ)证明:AE⊥PD; (4分)

(Ⅱ)若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正切值为,求二面角E—AF—C的余弦值。(8分)

(19)函数论(本小题满分14分)

已知函数其中n∈N*,a为常数.

(Ⅰ)当n=2时,求函数f(x)的极值;(6分)

(Ⅱ)当a=1时,证明:对任意的正整数n,当x≥2时,有f(x)≤x-1。(8分)

(20)解析几何(本小题满分16分)

已知倾斜角为的直线过点和点在第一象限,

(1) 求点的坐标;(4分)

(2)若直线与双曲线相交于两点,且线段的中点坐标为,求的值;(6分)

(3)对于平面上任一点,当点在线段上运动时,称的最小值为与线段的距离. 已知点轴上运动,写出点到线段的距离关于的函数关系式。(6分)

(21)数学教学法(本小题满分10分,请做100字左右的解答)

俗话说:一个良好的开端,等于成功的一半。因此,有经验的老师都非常重视每节课的“导言”设计。好的设计能吸引学生的注意力。但新课的引入既要注重数学本质,又要注意适度形式化,引入合情合理,要注意直观性、趣味性、启发性和铺垫性。请为高一数学上册第三章《数列》的第三节“等差数列求和”一节设计一个“导言”。

(22)教师职业心理(本小题满分6分,请选择一题做60字左右的解答,两题都答按照第一题记分)

1.有一位名人曾经说:如果把职业当成工作,那么你将一事无成,如果把职业当成事业,你将有所成就。你有怎么的理解?

2.在你的学生时代,你对教育存在着哪一种遗憾,如果你作为老师,你会怎样让学生远离这种遗憾?

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浙江师范大学第五届初等数学竞赛 暨浙江省教育局统一考试模拟试题

本试卷分为第Ⅰ卷(共 50 分)和第Ⅱ卷(共 100 分)两部分,满分 150 分, 考试时间为 120 分钟,请在答题纸上作答,在试卷上作答无效。

第Ⅰ卷(共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。

(1)满足 M ? {a1, a2, a3, a4},且 M∩{a1 ,a2, a3}={ a1·a2}的集合 M 的个数是

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

(2)设 z 的共轭复数是 z ,或 z+ z =4,z· z =8,则 (A)1 (B)—i

z 等于 z

(D) ±i

(C)±1

π π (3)函数 y=lncosx(- <x< )=的图象是 2 2

(4)设函数 f(x)=|x+1|+|x-a|的图象关于直线 x=1 对称,则 a 的值为 (A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1 (5)已知 cos(α -

π 4 7π 3 , 则 sin(α ? )的值是 )+sinα = 6 5 6

(A)—

2 3 5

(B)

2 3 5

(C)—

4 5

(D)

4 5

(6)右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几 何体的表面积是 (A)9π (B)10π (C)11π (D) 12π (7)在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为 1,2,3,…,18 的 18 名火炬手.若从中任 选 3 人,则选出的火炬手的编号能组成 3 为公差的等差数列的概率为

1 51 1 (C) 306

(A)

1 68 1 (D) 408

(B)

(8) (X-

1

3

x

)12 展开式中的常数项为 (B)1320 (C)-220 (D)220

(A)-1320 (9) 设椭圆 C1 的离心率为

5 ,焦点在 X 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的 13

两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为 (A)

x2 y2 ? ?1 4 2 32 x2 y2 ? ?1 32 4 2

(B)

x2 y2 ? ?1 132 5 2 x2 y2 ? ?1 132 122

(C)

(D)

(10)已知圆的方程为 X2+Y2-6X-8Y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为 (A)10 6 (B)20 6 (C)30 6 (D)40 6

第Ⅱ卷(共 100 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。

(11) 已知 a, b, c 为△ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, 向量 m= ( 3,?1 ) , n= (cosA,sinA) . 若 m⊥n,且 acosB+bcosA=csinC,则角 B=

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b (12) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 a (a>b>0)的焦距为 2c,以 O 为圆心,

? a2 ? P? , 0? c ? ? A 为半径作圆 M,若过 作圆 M 的两条切线互相垂直,则椭圆的离心率

是 .

(13)若不等式|3X-B|<4 的解集中的整数有且仅有 1,2,3,则 b 的取值范围为 (14)在平面直角坐标系 xOy 中,若 D 表示横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成 的区域,E 表示到原点的距离不大于 1 的点构成的区域,向 D 内随机地投一点,则落在 E 中的概率 (15)以下是有关新课程改革的命题,请判断正误。

(每空 1 分) 1、新课程改革实际上就是新一轮的教材改革。

( ) 2、新课程改革的核心目的是培养全面发展的人。

( )

3、新课程在小学阶段是以分科课程为主,在初中阶段是以综合课程为主。

( ) 4、新课程把中小学教材由“国定制”改为“国审制” ,形成了教材编写、出版、选用混乱 的局面,不利于教师把握教学和考试的标准。

( ) 5、 《纲要》提出的要使学生“养成健康的审美情趣”的培养目标,只能在语文、美术、音 乐课中才能实现,其他课程没有办法培养学生的审美情趣。

( ) (16) 已知 x ? y ? 1,( x ? 0, y ? 0) ,求

1 2 + 的最小值. x y

解: ∵ x ? y ? 1,( x ? 0, y ? 0) ,∴令

x ? cos2 ? , y ? sin 2 ? ,

1 2 1 2 ? ? ? 2 ? tan 2 ? ? 2cot 2 ? ? 3 ≥3+2 2 . 2 x y cos ? sin ?

∴当且仅当 x ? 2 ?1, y ? 2 ? 2 时,

1 2 ? 的最小值为 3+2 2 . x y

(2 分) (2 分) (1 分)

试说出: (1)此题涉及的主要知识点是 (2)此题的解题过程用到的数学方法有 (3)此题的解题思路体现的数学思想是

三、综合题:本大题共 6 小题,共 70 分。

(17)概率统计(本小题满分 12 分) 甲乙两队参加奥运知识竞赛,每队 3 人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分, 答错得零分。

假设甲队中每人答对的概率均为

2 ,乙队中 3 人答对的概率分别为 3

2 2 1 , , 且各人正确与否相互之间没有影响.用ε 表示甲队的总得分. 3 3 2

(Ⅰ)求随机变量ε 分布列和数学期望; (4 分) (Ⅱ) 用 A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件,用 B 表示“甲队总得分大 于乙队总得分”这一事件,求 P(AB)。

(8 分)

.(18) 空间几何 (本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为菱形,PA⊥平面 ABCD, ?ABC ? 60? ,E,F 分别是 BC, PC 的中点. (Ⅰ)证明:AE⊥PD; (4 分) (Ⅱ) 若 H 为 PD 上的动点,EH 与平面 PAD 所成最大角的正 切值为

6 ,求二面角 E—AF—C 的余弦值。

(8 分) 2

(19)函数论(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 ? a ln( x ? 1), 其中 n∈N*,a 为常数. (1 ? x)n

(Ⅰ)当 n=2 时,求函数 f(x)的极值; (6 分) (Ⅱ)当 a=1 时,证明:对任意的正整数 n,当 x≥2 时,有 f(x)≤x-1。

(8 分)

(20)解析几何(本小题满分 16 分) 已知倾斜角为 45 ? 的直线 l 过点 A(1 , ? 2) 和点 B , B 在第一象限, | AB |? 3 2 。

(1) 求点 B 的坐标; (4 分)

(2)若直线 l 与双曲线

C:

x2 ? y2 ?1 2 (a ? 0) 相交于 E 、 F 两点,且线段 EF 的中点坐 a

标为 ( 4 , 1) ,求 a 的值; (6 分) (3)对于平面上任一点 P ,当点 Q 在线段 AB 上运动时,称 | PQ | 的最小值为 P 与线段

AB 的距离. 已知点 P 在 x 轴上运动,写出点 P (t , 0) 到线段 AB 的距离 h 关于 t 的函数关系

式。

(6 分)

(21)数学教学法(本小题满分 10 分,请做 100 字左右的解答) 俗话说:一个良好的开端,等于成功的一半。

因此,有经验的老师都非常重视每节课的“导 言”设计。

好的设计能吸引学生的注意力。

但新课的引入既要注重数学本质,又要注意适度 形式化,引入合情合理,要注意直观性、趣味性、启发性和铺垫性。

请为高一数学上册第三 章《数列》的第三节“等差数列求和”一节设计一个“导言” 。

(22)教师职业心理(本小题满分 6 分,请选择一题做 60 字左右的解答,两题都答按照第 一题记分) 1.有一位名人曾经说:如果把职业当成工作,那么你将一事无成,如果把职业当成事业, 你将有所成就。

你有怎么的理解? 2.在你的学生时代,你对教育存在着哪一种遗憾,如果你作为老师,你会怎样让学生远离 这种遗憾?


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